Probabilidad de ganar partidos según superficie

Para resolver este problema de probabilidad, primero debemos identificar los sucesos principales y los datos que nos ofrece el enunciado. Definimos los siguientes sucesos: - $T$: El partido se juega sobre **tierra**. - $O$: El partido se juega sobre **otro tipo de superficie**. - $G$: La tenista **gana** el partido. - $\bar{G}$: La tenista **no gana** (pierde) el partido. Datos del enunciado: - Total de partidos: $40$. - Partidos en tierra: $25 \implies P(T) = \frac{25}{40} = 0,625$. - Partidos en otra superficie: $40 - 25 = 15 \implies P(O) = \frac{15}{40} = 0,375$. - Probabilidad de ganar en tierra: $P(G|T) = 90\% = 0,9$. - Probabilidad de ganar en otra superficie: $P(G|O) = 50\% = 0,5$. Podemos representar esta información en un **árbol de probabilidad**: 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser igual a $1$.

**a) (1.25 puntos) Ganase el partido.** Para hallar la probabilidad de que ganase el partido, $P(G)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso ganar puede ocurrir tanto si juega en tierra como si juega en otra superficie. La fórmula es: $$P(G) = P(T) \cdot P(G|T) + P(O) \cdot P(G|O)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(G) = 0,625 \cdot 0,9 + 0,375 \cdot 0,5$$ $$P(G) = 0,5625 + 0,1875$$ $$P(G) = 0,75$$ Esto significa que la tenista tiene una probabilidad del $75 \%$ de ganar un partido elegido al azar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G) = 0,75}$$

**b) (0.5 puntos) No ganase sabiendo que jugó sobre tierra.** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que no ganase ($\bar{G}$) dado que sabemos que el partido fue sobre tierra ($T$). Es decir, $P(\bar{G}|T)$. Sabemos por el enunciado que cuando juega sobre tierra gana el $90 \%$ de las veces ($P(G|T) = 0,9$). Por lo tanto, la probabilidad de que no gane es el suceso complementario: $$P(\bar{G}|T) = 1 - P(G|T)$$ $$P(\bar{G}|T) = 1 - 0,9 = 0,1$$ 💡 **Tip:** No confundas $P(\bar{G}|T)$ (probabilidad de perder dado que es tierra) con $P(\bar{G} \cap T)$ (probabilidad de que sea en tierra y pierda). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{G}|T) = 0,1}$$

**c) (0.75 puntos) Jugase sobre tierra sabiendo que ganó.** Nos piden la probabilidad de que el partido haya sido sobre tierra ($T$) sabiendo que el resultado fue una victoria ($G$). Es decir, $P(T|G)$. Para resolver esto, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(T|G) = \frac{P(T \cap G)}{P(G)} = \frac{P(T) \cdot P(G|T)}{P(G)}$$ Utilizamos los valores obtenidos anteriormente: - $P(T) \cdot P(G|T) = 0,625 \cdot 0,9 = 0,5625$ (esta es la probabilidad de que el partido sea en tierra y lo gane). - $P(G) = 0,75$ (calculado en el apartado a). Sustituimos: $$P(T|G) = \frac{0,5625}{0,75}$$ $$P(T|G) = 0,75$$ La probabilidad de que el partido ganado se hubiese disputado en tierra es del $75 \%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T|G) = 0,75}$$