Probabilidad en microempresas: página web y comercio electrónico

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga página web o realice ventas por comercio electrónico.** Primero definimos los sucesos principales: - $W$: "La microempresa tiene página web". - $E$: "La microempresa realiza ventas por comercio electrónico". Extraemos los datos del enunciado expresándolos en términos de probabilidad: - $P(W) = 32\% = 0.32$ - $P(\bar{W} \cap \bar{E}) = 64.6\% = 0.646$ (Ni web ni comercio electrónico) - $P(E | W) = 30\% = 0.30$ (Ventas dado que tiene web) Calculamos la probabilidad del suceso contrario a $W$: $$P(\bar{W}) = 1 - P(W) = 1 - 0.32 = 0.68$$ Para calcular la probabilidad de la unión $P(W \cup E)$, utilizamos la **Ley de De Morgan**: La probabilidad de que no ocurra ni $W$ ni $E$ es el complementario de la unión: $$P(\bar{W} \cap \bar{E}) = P(\overline{W \cup E})$$ $$0.646 = 1 - P(W \cup E)$$ Despejamos la unión: $$P(W \cup E) = 1 - 0.646 = 0.354$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "ni A ni B" se traduce como la intersección de los contrarios $\bar{A} \cap \bar{B}$ y, por De Morgan, es igual a $1 - P(A \cup B)$. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{P(W \cup E) = 0.354}$$

Para resolver los siguientes apartados, es muy útil completar el árbol de probabilidad. Sabemos que $P(E|W) = 0.30$, por lo que $P(\bar{E}|W) = 1 - 0.30 = 0.70$. Para la rama de $\bar{W}$, podemos hallar $P(\bar{E}|\bar{W})$ usando el dato $P(\bar{W} \cap \bar{E}) = 0.646$: $$P(\bar{W} \cap \bar{E}) = P(\bar{W}) \cdot P(\bar{E}|\bar{W}) \implies 0.646 = 0.68 \cdot P(\bar{E}|\bar{W})$$ $$P(\bar{E}|\bar{W}) = \frac{0.646}{0.68} = 0.95$$ Por tanto, $P(E|\bar{W}) = 1 - 0.95 = 0.05$.

**b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que realice ventas por comercio electrónico.** Podemos usar la fórmula de la probabilidad total o la relación de la unión: **Método 1: Fórmula de la unión** Sabemos que $P(W \cup E) = P(W) + P(E) - P(W \cap E)$. Calculamos primero $P(W \cap E)$: $$P(W \cap E) = P(W) \cdot P(E|W) = 0.32 \cdot 0.30 = 0.096$$ Sustituimos en la fórmula de la unión: $$0.354 = 0.32 + P(E) - 0.096$$ $$0.354 = 0.224 + P(E)$$ $$P(E) = 0.354 - 0.224 = 0.13$$ **Método 2: Probabilidad total (usando el árbol)** $$P(E) = P(W \cap E) + P(\bar{W} \cap E) = 0.096 + 0.034 = 0.13$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ es fundamental para relacionar uniones e intersecciones. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{P(E) = 0.13}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que no tenga página web y realice ventas por comercio electrónico.** Se nos pide calcular la probabilidad de la intersección $P(\bar{W} \cap E)$. Utilizando el concepto de probabilidad condicionada: $$P(\bar{W} \cap E) = P(\bar{W}) \cdot P(E | \bar{W})$$ Como calculamos en el paso del árbol, $P(E | \bar{W}) = 0.05$: $$P(\bar{W} \cap E) = 0.68 \cdot 0.05 = 0.034$$ También se puede obtener restando a la probabilidad total de $E$ su parte común con $W$: $$P(\bar{W} \cap E) = P(E) - P(W \cap E) = 0.13 - 0.096 = 0.034$$ ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{P(\bar{W} \cap E) = 0.034}$$

**d) (0.5 puntos) Razone si son independientes los sucesos "Tener página web" y "Realizar ventas por comercio electrónico". ¿Son incompatibles?** **1. Independencia:** Dos sucesos son independientes si $P(W \cap E) = P(W) \cdot P(E)$. - $P(W \cap E) = 0.096$ - $P(W) \cdot P(E) = 0.32 \cdot 0.13 = 0.0416$ Como $0.096 \neq 0.0416$, los sucesos **no son independientes** (son dependientes). **2. Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, $P(W \cap E) = 0$. - En este caso, $P(W \cap E) = 0.096 \neq 0$. Por tanto, los sucesos **no son incompatibles** (son compatibles). 💡 **Tip:** Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro. Son incompatibles si no pueden ocurrir al mismo tiempo. ✅ **Resultado (Apartado d):** $$\boxed{\text{Son dependientes y compatibles}}$$