Intervalo de confianza y distribución de la media muestral

**a) (1.25 puntos) Se elige una muestra aleatoria de 100 gambas obteniéndose una media de 53 gramos. Calcule un intervalo de confianza al $97.5 \ \%$ para estimar el peso medio de la gamba roja.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$ (peso de la gamba): - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5$ g. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 53$ g. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.975$ (o $97.5\%$). Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.975 \implies \alpha = 0.025$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.0125$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$ tal que $P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0125 = 0.9875$. Consultando la tabla: $$z_{\alpha/2} = 2.24$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $1 - \alpha/2$ a su izquierda en la distribución normal estándar.

Calculamos el error máximo admisible $E$ mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.24 \cdot \frac{5}{\sqrt{100}} = 2.24 \cdot \frac{5}{10} = 2.24 \cdot 0.5 = 1.12$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (53 - 1.12, 53 + 1.12) = (51.88, 54.12)$$ 💡 **Tip:** El error depende directamente de la desviación típica y el nivel de confianza, e inversamente del tamaño de la muestra. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (51.88, 54.12)}$$

**b) (1.25 puntos) Sabiendo que la media poblacional es 53 gramos y escogiendo una muestra aleatoria de 64 gambas, calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra sea superior a 53.25 gramos.** En este apartado, conocemos la media poblacional $\mu = 53$ g y la desviación típica $\sigma = 5$ g. El tamaño de la muestra es $n = 64$. Sabemos que si la población sigue una $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{5}{\sqrt{64}} = \frac{5}{8} = 0.625$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(53, 0.625)$. Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 53.25)$. 💡 **Tip:** La media de las medias muestrales coincide con la media poblacional, pero su dispersión es menor cuanto mayor sea el tamaño de la muestra.

Para calcular la probabilidad, tipificamos la variable para pasar a una $Z \sim N(0,1)$: $$P(\bar{X} \gt 53.25) = P\left(Z \gt \frac{53.25 - 53}{0.625}\right)$$ Realizamos la operación: $$P\left(Z \gt \frac{0.25}{0.625}\right) = P(Z \gt 0.4)$$ Como las tablas solo nos dan probabilidades del tipo $P(Z \leq k)$, usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.4) = 1 - P(Z \leq 0.4)$$ Buscamos $0.4$ en la tabla de la Normal estándar: $$P(Z \leq 0.4) = 0.6554$$ Calculamos el resultado final: $$P(\bar{X} \gt 53.25) = 1 - 0.6554 = 0.3446$$ ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{P = 0.3446}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para tipificar restamos la media y dividimos por la desviación típica de la distribución que estemos usando (en este caso, la de la media muestral).