Inferencia de la proporción e intervalo de confianza

**a) (1.25 puntos) Obtenga un intervalo de confianza al $97 \ \%$ para estimar la proporción de asegurados que han solicitado este servicio.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Número de éxitos (clientes que usaron el servicio): $x = 90$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{90}{300} = 0.3$$ Y la proporción complementaria ($\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3 = 0.7$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el cociente entre los casos favorables observados y el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $97 \ %$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 1 - 0.97 = 0.03$$ $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.03}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, observamos que el valor de probabilidad $0.985$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación, pero aquí $0.985$ es exacto para $2.17$.

La fórmula para el error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.0007} \approx 2.17 \cdot 0.0264575 \approx 0.0574$$ El intervalo de confianza se construye como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.3 - 0.0574, 0.3 + 0.0574) = (0.2426, 0.3574)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.2426, 0.3574)}$$

**b) (1.25 puntos) Con la proporción muestral facilitada y con un nivel de confianza del $95 \ \%$, ¿cuál es el número mínimo de asegurados que se deberán seleccionar aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un $3 \ %$?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $95 \ % \implies 1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha/2 = 0.025$ - Valor crítico para $95 \ %$: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975$, lo que nos da $z_{\alpha/2} = 1.96$. - Error máximo permitido: $E = 3 \ % = 0.03$ - Proporción muestral previa: $\hat{p} = 0.3$ y $\hat{q} = 0.7$ 💡 **Tip:** Cuando nos dicen que la proporción muestral y poblacional no difieran en más de una cantidad, esa cantidad es el error $E$.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los datos: $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.3 \cdot 0.7}{(0.03)^2} = \frac{3.8416 \cdot 0.21}{0.0009} = \frac{0.806736}{0.0009} = 896.3733$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea como máximo de $0.03$, redondeamos siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 897 \text{ asegurados}}$$