Álgebra 2023 Andalucia
Optimización de la producción de botes de pintura
EJERCICIO 1
(2.5 puntos) Una empresa de pinturas quiere elaborar botes de pintura de dos colores nuevos: Júpiter y Minerva. Para ello, dispone de $1000\text{ kg}$ de pintura de color verde, $800\text{ kg}$ de color morado y $300\text{ kg}$ de color naranja. Para elaborar un bote de color Júpiter se necesitan $10\text{ kg}$ de pintura verde, $5\text{ kg}$ de morada y $5\text{ kg}$ de naranja. Para elaborar un bote de color Minerva se necesitan $5\text{ kg}$ de pintura verde y $5\text{ kg}$ de morada. Sabiendo que se obtiene un beneficio de $30\text{ €}$ por cada bote de pintura Júpiter y $20\text{ €}$ por un bote de pintura Minerva, ¿cuántos botes de cada tipo deberá fabricar la empresa para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál será el valor de ese beneficio?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular:
- $x$: número de botes de pintura color **Júpiter**.
- $y$: número de botes de pintura color **Minerva**.
El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, se ganan $30\text{ €}$ por cada bote Júpiter y $20\text{ €}$ por cada bote Minerva. Por tanto, la **función objetivo** es:
$$B(x, y) = 30x + 20y$$
💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, siempre empieza identificando qué te preguntan (las incógnitas) y qué quieres maximizar o minimizar (la función objetivo).
Paso 2
Establecimiento de las restricciones
La empresa tiene limitaciones de materia prima (verde, morado y naranja). Traducimos estas limitaciones a inecuaciones:
1. **Pintura verde:** Se usan $10\text{ kg}$ para Júpiter ($x$) y $5\text{ kg}$ para Minerva ($y$). Máximo $1000\text{ kg}$.
$$10x + 5y \le 1000 \implies 2x + y \le 200$$
2. **Pintura morada:** Se usan $5\text{ kg}$ para Júpiter ($x$) y $5\text{ kg}$ para Minerva ($y$). Máximo $800\text{ kg}$.
$$5x + 5y \le 800 \implies x + y \le 160$$
3. **Pintura naranja:** Se usan $5\text{ kg}$ solo para Júpiter ($x$). Máximo $300\text{ kg}$.
$$5x \le 300 \implies x \le 60$$
4. **No negatividad:** No se pueden fabricar botes negativos.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
El sistema de restricciones (región factible) es:
$$\begin{cases} 2x + y \le 200 \\ x + y \le 160 \\ x \le 60 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$
Paso 3
Representación gráfica de la región factible
Para hallar la solución, representamos las rectas asociadas a las restricciones en el plano cartesiano:
- $r_1: 2x + y = 200$. Pasa por $(0, 200)$ y $(100, 0)$.
- $r_2: x + y = 160$. Pasa por $(0, 160)$ y $(160, 0)$.
- $r_3: x = 60$. Recta vertical.
La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades simultáneamente.
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "r1",
"latex": "2x + y \\le 200 \\left\\{ x \\ge 0 \\right\\} \\left\\{ y \\ge 0 \\right\\}",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "r2",
"latex": "x + y \\le 160 \\left\\{ x \\ge 0 \\right\\} \\left\\{ y \\ge 0 \\right\\}",
"color": "#ef4444"
},
{
"id": "r3",
"latex": "x \\le 60 \\left\\{ x \\ge 0 \\right\\} \\left\\{ y \\ge 0 \\right\\}",
"color": "#16a34a"
},
{
"id": "region",
"latex": "y \\le 200-2x \\left\\{ y \\le 160-x \\right\\} \\left\\{ x \\le 60 \\right\\} \\left\\{ x \\ge 0 \\right\\} \\left\\{ y \\ge 0 \\right\\}",
"color": "#93c5fd"
}
],
"bounds": {
"left": -20,
"right": 180,
"bottom": -20,
"top": 220
}
}
}
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices del polígono son los puntos donde se alcanzan los valores máximos o mínimos. Los calculamos resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes:
- **A**: Origen $\implies \mathbf{(0, 0)}$
- **B**: Intersección de $x=0$ con $x+y=160 \implies \mathbf{(0, 160)}$
- **C**: Intersección de $x+y=160$ con $2x+y=200$:
Restando las ecuaciones: $(2x+y)-(x+y) = 200-160 \implies x = 40$.
Sustituyendo: $40+y=160 \implies y = 120$. Punto $\mathbf{(40, 120)}$
- **D**: Intersección de $2x+y=200$ con $x=60$:
$2(60)+y=200 \implies 120+y=200 \implies y=80$. Punto $\mathbf{(60, 80)}$
- **E**: Intersección de $y=0$ con $x=60 \implies \mathbf{(60, 0)}$
💡 **Tip:** No olvides comprobar que todos los puntos obtenidos están dentro de todas las restricciones del problema.
Paso 5
Evaluación del beneficio y conclusión
Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 30x + 20y$ en cada uno de los vértices:
- $B(0, 0) = 30(0) + 20(0) = 0\text{ €}$
- $B(0, 160) = 30(0) + 20(160) = 3200\text{ €}$
- $B(40, 120) = 30(40) + 20(120) = 1200 + 2400 = 3600\text{ €}$
- $B(60, 80) = 30(60) + 20(80) = 1800 + 1600 = 3400\text{ €}$
- $B(60, 0) = 30(60) + 20(0) = 1800\text{ €}$
El beneficio máximo es de $3600\text{ €}$ y se produce cuando se fabrican $40$ botes Júpiter y $120$ botes Minerva.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se deben fabricar 40 botes Júpiter y 120 botes Minerva para un beneficio de 3600 €}}$$