Operaciones con matrices, inversa y sistemas matriciales

**a) (0.5 puntos) Halle las dimensiones de las siguientes matrices $C^t AC$, $ACC^t B$.** Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. El resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda. Identificamos las dimensiones iniciales: - $A$ es una matriz $3 \times 3$. - $B$ es una matriz $3 \times 3$. - $C$ es una matriz $3 \times 1$. - $C^t$ (traspuesta de $C$) es una matriz $1 \times 3$. **Para $C^t AC$:** Analizamos el producto paso a paso: - $C^t (1 \times 3) \cdot A (3 \times 3)$ da una matriz $(1 \times 3)$. - $(1 \times 3) \cdot C (3 \times 1)$ da una matriz $(1 \times 1)$. Por tanto, $C^t AC$ es una **matriz de dimensión $1 \times 1$** (un escalar). **Para $ACC^t B$:** Analizamos el producto paso a paso: - $A (3 \times 3) \cdot C (3 \times 1)$ da una matriz $(3 \times 1)$. - $(3 \times 1) \cdot C^t (1 \times 3)$ da una matriz $(3 \times 3)$. - $(3 \times 3) \cdot B (3 \times 3)$ da una matriz $(3 \times 3)$. Por tanto, $ACC^t B$ es una **matriz de dimensión $3 \times 3$**. 💡 **Tip:** Si multiplicas $(m \times n) \cdot (n \times p)$, el resultado es $(m \times p)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{C^t AC \in \mathcal{M}_{1 \times 1}, \quad ACC^t B \in \mathcal{M}_{3 \times 3}}$$

**b) (1 punto) Calcule, en caso de existir, las inversas de las matrices $A$ y $B$.** Primero calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus para ver si es invertible (debe ser $|A| \neq 0$): $$|A| = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (5 \cdot 0 \cdot (-1)) + (7 \cdot 3 \cdot 6) + (-7 \cdot 4 \cdot 0) - (0 \cdot 0 \cdot 6) - (3 \cdot 4 \cdot 5) - (7 \cdot (-7) \cdot (-1))$$ $$|A| = 0 + 126 + 0 - (0 + 60 + 49) = 126 - 109 = 17$$ Como $|A| = 17 \neq 0$, **la matriz $A$ tiene inversa**. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -12$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-7) = 7$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 21$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -7 & 6 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -(7 - 18) = 11$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -5$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 5 & -7 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -15$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -7 & 6 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -28$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = -(20 - 42) = 22$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 5 & -7 \\ 7 & 0 \end{vmatrix} = 49$ La matriz de adjuntos es $Adj(A) = \begin{pmatrix} -12 & 7 & 21 \\ 11 & -5 & -15 \\ -28 & 22 & 49 \end{pmatrix}$. La traspuesta de la adjunta es $(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} -12 & 11 & -28 \\ 7 & -5 & 22 \\ 21 & -15 & 49 \end{pmatrix}$. Finalmente, $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$: $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} -12 & 11 & -28 \\ 7 & -5 & 22 \\ 21 & -15 & 49 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de $B$ por Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -9 \\ -2 & 0 & 11 \\ 0 & 4 & -7 \end{vmatrix}$$ $$|B| = (1 \cdot 0 \cdot (-7)) + (-2 \cdot 4 \cdot (-9)) + (2 \cdot 11 \cdot 0) - (0 \cdot 0 \cdot (-9)) - (4 \cdot 11 \cdot 1) - (-2 \cdot 2 \cdot (-7))$$ $$|B| = 0 + 72 + 0 - (0 + 44 + 28) = 72 - 72 = 0$$ Como $|B| = 0$, la matriz **no es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe } B^{-1} \text{ porque } |B| = 0}$$

**c) (1 punto) Resuelva el siguiente sistema matricial** $$\begin{cases} (1) \ 2X + 3Y = A \\ (2) \ -3X + 4Y = B \end{cases}$$ Podemos resolverlo por el método de reducción (suma y resta). Para eliminar $X$, multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2: $$\begin{cases} 6X + 9Y = 3A \\ -6X + 8Y = 2B \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$17Y = 3A + 2B \implies Y = \frac{1}{17}(3A + 2B)$$ Para eliminar $Y$, multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por -3: $$\begin{cases} 8X + 12Y = 4A \\ 9X - 12Y = -3B \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$17X = 4A - 3B \implies X = \frac{1}{17}(4A - 3B)$$

Calculamos $17X = 4A - 3B$: $$17X = 4 \begin{pmatrix} 5 & -7 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 & -9 \\ -2 & 0 & 11 \\ 0 & 4 & -7 \end{pmatrix}$$ $$17X = \begin{pmatrix} 20 & -28 & 24 \\ 28 & 0 & 16 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 6 & -27 \\ -6 & 0 & 33 \\ 0 & 12 & -21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & -34 & 51 \\ 34 & 0 & -17 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}$$ Dividiendo entre 17: $$X = \begin{pmatrix} 17/17 & -34/17 & 51/17 \\ 34/17 & 0/17 & -17/17 \\ 0/17 & 0/17 & 17/17 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para X:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos $17Y = 3A + 2B$: $$17Y = 3 \begin{pmatrix} 5 & -7 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 & -9 \\ -2 & 0 & 11 \\ 0 & 4 & -7 \end{pmatrix}$$ $$17Y = \begin{pmatrix} 15 & -21 & 18 \\ 21 & 0 & 12 \\ 0 & 9 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 & -18 \\ -4 & 0 & 22 \\ 0 & 8 & -14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & -17 & 0 \\ 17 & 0 & 34 \\ 0 & 17 & -17 \end{pmatrix}$$ Dividiendo entre 17: $$Y = \begin{pmatrix} 17/17 & -17/17 & 0/17 \\ 17/17 & 0/17 & 34/17 \\ 0/17 & 17/17 & -17/17 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para Y:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$$