Estudio de continuidad, derivabilidad y área de una función a trozos

**a) (1.25 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en todos los puntos de su dominio.** Primero analizamos el dominio y la continuidad en los intervalos abiertos: - Para $x \lt 3$, $f(x) = x^2 - 4x + 4$ es una función polinómica, por lo que es continua en $(-\infty, 3)$. - Para $x \gt 3$, $f(x) = -x + 4$ es una función polinómica (una recta), por lo que es continua en $(3, +\infty)$. El punto crítico es el salto entre ramas en **$x = 3$**. Comprobamos los límites laterales y el valor de la función: 1. Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 4x + 4) = 3^2 - 4(3) + 4 = 9 - 12 + 4 = 1$$ 2. Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} (-x + 4) = -3 + 4 = 1$$ 3. Valor de la función: $$f(3) = -3 + 4 = 1$$ Como $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = 1$, la función es **continua en $x = 3$**. $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Una vez confirmada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada en las ramas: $$f'(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x \lt 3 \\ -1 & \text{si } x \gt 3 \end{cases}$$ Analizamos las derivadas laterales en el punto de unión **$x = 3$**: - Derivada por la izquierda: $$f'(3^-) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$$ - Derivada por la derecha: $$f'(3^+) = -1$$ Como las derivadas laterales son distintas ($2 \neq -1$), la función **no es derivable en $x = 3$**. Gráficamente, esto significa que hay un punto anguloso en $x=3$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, sus derivadas laterales deben coincidir. $$\boxed{\text{Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{3\}}$$

**b) (0.5 puntos) Represente gráficamente $f$.** Para representar la función, analizamos cada tramo: 1. **Tramo 1 ($x \lt 3$):** Es una parábola $y = x^2 - 4x + 4$. - Su vértice está en $x = -b/2a = 4/2 = 2$. - Si $x=2$, $y=0$. El vértice es $(2, 0)$. - Puntos de corte: $(0, 4)$ y $(2, 0)$. 2. **Tramo 2 ($x \ge 3$):** Es una recta $y = -x + 4$. - En $x=3$, $y=1$ (punto de unión). - En $x=4$, $y=0$ (corte con eje X). Podemos ver la gráfica a continuación:

**c) (0.75 puntos) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y las rectas $x = 2$ y $x = 4$.** El área solicitada se encuentra entre $x=2$ y $x=4$. Como la función cambia de definición en $x=3$, debemos dividir la integral en dos partes: 1. Desde $x=2$ hasta $x=3$ usamos la parábola $x^2 - 4x + 4$. 2. Desde $x=3$ hasta $x=4$ usamos la recta $-x + 4$. El área total es: $$A = \int_{2}^{3} (x^2 - 4x + 4) \, dx + \int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que el intervalo de integración cruce el punto donde cambia la función a trozos, es obligatorio separar la integral en la suma de las integrales de cada tramo.

Calculamos cada integral por separado aplicando la Regla de Barrow: **Primera integral:** $$\int_{2}^{3} (x^2 - 4x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{2}^{3}$$ $$= \left( \frac{3^3}{3} - 2(3)^2 + 4(3) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2(2)^2 + 4(2) \right)$$ $$= (9 - 18 + 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9-8}{3} = \frac{1}{3} \text{ u}^2$$ **Segunda integral:** $$\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{3}^{4}$$ $$= \left( -\frac{4^2}{2} + 4(4) \right) - \left( -\frac{3^2}{2} + 4(3) \right)$$ $$= (-8 + 16) - \left( -\frac{9}{2} + 12 \right) = 8 - \frac{15}{2} = \frac{16-15}{2} = \frac{1}{2} \text{ u}^2$$ **Área Total:** $$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{5}{6} \approx 0.833 \text{ u}^2}$$