Estudio de beneficios, ingresos y gastos de una empresa

**a) (0.5 puntos) Si la función $I(t) = -t^2 + 48t$ representa los ingresos de esta empresa, en miles de euros, para el mismo intervalo de tiempo, ¿cuál es la función de gastos de dicha empresa? ¿Cuáles son los gastos iniciales?** Sabemos que el beneficio de una empresa se define como la diferencia entre los ingresos y los gastos: $$B(t) = I(t) - G(t)$$ Para hallar la función de gastos $G(t)$, despejamos de la ecuación anterior: $$G(t) = I(t) - B(t)$$ Sustituimos las expresiones de las funciones dadas: $$G(t) = (-t^2 + 48t) - (-t^2 + 21t - 20)$$ $$G(t) = -t^2 + 48t + t^2 - 21t + 20$$ $$G(t) = 27t + 20$$ Para calcular los **gastos iniciales**, evaluamos la función en el momento $t = 0$: $$G(0) = 27(0) + 20 = 20$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los valores están en miles de euros, por lo que 20 representa 20.000 €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{G(t) = 27t + 20 \text{ y los gastos iniciales son de 20 mil euros}}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule el momento a partir del cual el beneficio fue positivo.** Para saber cuándo el beneficio es positivo, debemos resolver la inecuación $B(t) \gt 0$: $$-t^2 + 21t - 20 \gt 0$$ Primero igualamos a cero para encontrar los puntos de corte con el eje $t$: $$-t^2 + 21t - 20 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$t = \frac{-21 \pm \sqrt{21^2 - 4(-1)(-20)}}{2(-1)} = \frac{-21 \pm \sqrt{441 - 80}}{-2} = \frac{-21 \pm \sqrt{361}}{-2}$$ $$t = \frac{-21 \pm 19}{-2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{-21 + 19}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$ - $t_2 = \frac{-21 - 19}{-2} = \frac{-40}{-2} = 20$ Como la función $B(t)$ es una parábola con las ramas hacia abajo ($a = -1 \lt 0$), el beneficio es positivo entre las dos raíces, es decir, en el intervalo $(1, 20)$. Sin embargo, el dominio de nuestra función está restringido a $[0, 15]$. Por tanto, el beneficio es positivo en el intervalo $(1, 15]$. El momento a partir del cual es positivo es $t = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A partir de } t = 1 \text{ año}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule en qué momento el beneficio fue máximo y el valor del mismo.** Para encontrar el máximo, calculamos la derivada de la función beneficio e igualamos a cero: $$B'(t) = -2t + 21$$ $$-2t + 21 = 0 \implies 2t = 21 \implies t = 10.5$$ Comprobamos que es un máximo mediante la segunda derivada: $$B''(t) = -2$$ Como $B''(10.5) = -2 \lt 0$, se confirma que en $t = 10.5$ hay un **máximo relativo**. Estudiamos la monotonía en el dominio $[0, 15]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & [0, 10.5) & 10.5 & (10.5, 15]\\ \hline B'(t) & + & 0 & - \\ B(t) & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) \end{array}$$ Calculamos el valor del beneficio máximo sustituyendo $t = 10.5$ en $B(t)$: $$B(10.5) = -(10.5)^2 + 21(10.5) - 20$$ $$B(10.5) = -110.25 + 220.5 - 20 = 90.25$$ 💡 **Tip:** No olvides que el resultado se expresa en miles de euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } t = 10.5 \text{ años con un valor de } 90.25 \text{ mil euros}}$$

**d) (0.75 puntos) Represente gráficamente la función beneficio.** Para representar $B(t) = -t^2 + 21t - 20$ en el intervalo $[0, 15]$, utilizamos los puntos clave hallados: - **Punto inicial:** $(0, B(0)) = (0, -20)$. - **Corte con el eje horizontal:** $(1, 0)$ (el otro punto $t=20$ está fuera del dominio). - **Vértice (Máximo):** $(10.5, 90.25)$. - **Punto final:** $(15, B(15)) = (15, -(15)^2 + 21(15) - 20) = (15, -225 + 315 - 20) = (15, 70)$. La gráfica es un arco de parábola que comienza en una pérdida de 20.000 €, cruza el umbral de rentabilidad al año 1 y alcanza su máximo a los 10 años y medio.