Probabilidad y Estadística 2023 Andalucia
Probabilidad en la producción de procesadores
EJERCICIO 5
Una fábrica produce procesadores que se clasifican en un primer control en tres tipos, $A, B$ y $C$, según la frecuencia a la que pueden trabajar. El $60\%$ de los procesadores fabricados se clasifican de tipo $A$, el $30\%$ de tipo $B$ y el resto de tipo $C$. En un segundo control, se desechan el $20\%$ de los procesadores de tipo $A$, el $50\%$ de los de tipo $B$ y el $60\%$ de los de tipo $C$, por problemas al trabajar a ciertas temperaturas. Si se elige un procesador de esta fábrica al azar, calcule la probabilidad de que:
a) (1 punto) Sea descartado y sea de tipo $A$ o de tipo $B$.
b) (0.75 puntos) Sea descartado.
c) (0.75 puntos) Sea de tipo $C$ sabiendo que no ha sido descartado.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1 punto) Sea descartado y sea de tipo $A$ o de tipo $B$.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El procesador es de tipo $A$.
- $B$: El procesador es de tipo $B$.
- $C$: El procesador es de tipo $C$.
- $D$: El procesador es descartado (desechado).
- $\bar{D}$: El procesador no es descartado (supera el segundo control).
Organizamos la información en un diagrama de árbol:
- $P(A) = 0.60$
- $P(B) = 0.30$
- $P(C) = 1 - (0.60 + 0.30) = 0.10$ (el resto)
Probabilidades de ser descartado según el tipo:
- $P(D|A) = 0.20 \implies P(\bar{D}|A) = 0.80$
- $P(D|B) = 0.50 \implies P(\bar{D}|B) = 0.50$
- $P(D|C) = 0.60 \implies P(\bar{D}|C) = 0.40$
Paso 2
Cálculo del apartado a)
Se nos pide la probabilidad de que el procesador sea descartado ($D$) **Y** sea de tipo $A$ o tipo $B$. Esto se expresa como $P(D \cap (A \cup B))$.
Como los tipos $A$ y $B$ son incompatibles (un procesador no puede ser de ambos a la vez), podemos sumar las probabilidades de las intersecciones individuales:
$$P(D \cap (A \cup B)) = P(D \cap A) + P(D \cap B)$$
Calculamos cada una multiplicando las ramas del árbol:
$$P(D \cap A) = P(A) \cdot P(D|A) = 0.60 \cdot 0.20 = 0.12$$
$$P(D \cap B) = P(B) \cdot P(D|B) = 0.30 \cdot 0.50 = 0.15$$
Sumamos ambos valores:
$$P(D \cap (A \cup B)) = 0.12 + 0.15 = 0.27$$
💡 **Tip:** La palabra "o" en probabilidad suele implicar una unión de sucesos, y "y" una intersección.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D \cap (A \cup B)) = 0.27}$$
Paso 3
Apartado b): Probabilidad total de ser descartado
**b) (0.75 puntos) Sea descartado.**
Para calcular la probabilidad de que un procesador sea descartado ($D$), independientemente de su tipo, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
El suceso $D$ puede ocurrir a través de los tres tipos de procesadores ($A, B$ o $C$):
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$
Ya conocemos los dos primeros sumandos del apartado anterior y calculamos el tercero:
$$P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D|C) = 0.10 \cdot 0.60 = 0.06$$
Sumamos todos los casos posibles:
$$P(D) = 0.12 + 0.15 + 0.06 = 0.33$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma todas las formas posibles de llegar al suceso final (ser descartado).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0.33}$$
Paso 4
Apartado c): Probabilidad condicionada (Bayes)
**c) (0.75 puntos) Sea de tipo $C$ sabiendo que no ha sido descartado.**
Estamos ante una **probabilidad condicionada**. Queremos hallar $P(C|\bar{D})$.
La fórmula de la probabilidad condicionada es:
$$P(C|\bar{D}) = \frac{P(C \cap \bar{D})}{P(\bar{D})}$$
Primero, calculamos el denominador $P(\bar{D})$, que es el suceso contrario a ser descartado:
$$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.33 = 0.67$$
Ahora calculamos el numerador $P(C \cap \bar{D})$ usando el árbol:
$$P(C \cap \bar{D}) = P(C) \cdot P(\bar{D}|C) = 0.10 \cdot 0.40 = 0.04$$
Sustituimos en la fórmula:
$$P(C|\bar{D}) = \frac{0.04}{0.67} \approx 0.0597$$
💡 **Tip:** Cuando nos dan una información previa ("sabiendo que..."), esa información se convierte en el nuevo espacio muestral (el denominador).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|\bar{D}) = \frac{4}{67} \approx 0.0597}$$