Inferencia estadística y distribución normal del diámetro de piezas

**a) (0.75 puntos) Se seleccionan al azar $144$ piezas obteniéndose un diámetro medio de $81 \text{ mm}$. Determine un intervalo de confianza al $98.5\%$ para estimar el diámetro medio de las piezas fabricadas por la empresa.** Primero, identificamos los parámetros de la población y de la muestra: - La variable $X$ (diámetro) sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. - Varianza: $\sigma^2 = 9 \text{ mm}^2$, por lo que la desviación típica es $\sigma = \sqrt{9} = 3 \text{ mm}$. - Tamaño de la muestra: $n = 144$. - Media muestral: $\bar{x} = 81 \text{ mm}$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.985$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0.985 = 0.015$ 2. $\alpha/2 = 0.0075$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0075 = 0.9925$. Mirando en la tabla de la normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.9925$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 2.43$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el punto en la distribución normal estándar que deja un área de $\alpha/2$ a su derecha. Siempre se busca la probabilidad acumulada $1 - \alpha/2$ en el cuerpo de la tabla.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.43 \cdot \frac{3}{\sqrt{144}} = 2.43 \cdot \frac{3}{12} = 2.43 \cdot 0.25 = 0.6075$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (81 - 0.6075, 81 + 0.6075) = (80.3925, 81.6075)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (80.3925, 81.6075)}$$

**b) (0.75 puntos) Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿de qué tamaño mínimo habría que tomar la muestra para obtener un intervalo de confianza con una amplitud máxima de $0.9$?** La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es el doble del error ($A = 2E$). Se nos pide que la amplitud sea como máximo $0.9$: $$A \le 0.9 \implies 2E \le 0.9 \implies E \le 0.45$$ Usamos la fórmula del error para despejar $n$: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 0.45$$ $$2.43 \cdot \frac{3}{\sqrt{n}} \le 0.45 \implies \frac{7.29}{\sqrt{n}} \le 0.45$$ $$\sqrt{n} \ge \frac{7.29}{0.45} = 16.2$$ $$n \ge (16.2)^2 = 262.44$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior. 💡 **Tip:** Para garantizar que el error sea menor o igual al pedido, siempre debemos tomar el primer entero mayor que el resultado obtenido, incluso si el decimal es muy pequeño. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 263 \text{ piezas}}$$

**c) (1 punto) Suponiendo que la media poblacional es de $80.4 \text{ mm}$ y tomando muestras aleatorias de $64$ piezas, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria diámetro medio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre $79.5 \text{ mm}$ y $80.7 \text{ mm}$?** Si la variable poblacional $X$ sigue una $N(\mu, \sigma)$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ para muestras de tamaño $n$ es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Dados $\mu = 80.4$, $\sigma = 3$ y $n = 64$: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{3}{\sqrt{64}} = \frac{3}{8} = 0.375$$ Por tanto, la distribución es: $$\boxed{\bar{X} \sim N(80.4, 0.375)}$$

Queremos calcular $p(79.5 \le \bar{X} \le 80.7)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$p\left(\frac{79.5 - 80.4}{0.375} \le Z \le \frac{80.7 - 80.4}{0.375}\right)$$ $$p\left(\frac{-0.9}{0.375} \le Z \le \frac{0.3}{0.375}\right) = p(-2.4 \le Z \le 0.8)$$ Descomponemos la probabilidad: $$p(-2.4 \le Z \le 0.8) = p(Z \le 0.8) - p(Z \le -2.4)$$ Como $p(Z \le -2.4) = 1 - p(Z \le 2.4)$: $$p(Z \le 0.8) - [1 - p(Z \le 2.4)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0,1)$: - $p(Z \le 0.8) = 0.7881$ - $p(Z \le 2.4) = 0.9918$ Operamos: $$0.7881 - (1 - 0.9918) = 0.7881 - 0.0082 = 0.7799$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al tipificar, restamos la media y dividimos por la desviación típica *de la distribución que estemos usando* (en este caso, la de la media muestral). ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{p = 0.7799}$$