Intervalo de confianza para la proporción y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza al $95\%$ para la proporción de personas que creen seguir una dieta saludable.** Primero, identificamos los valores que nos proporciona el enunciado para la proporción muestral: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Número de respuestas afirmativas: $x = 180$ Calculamos la proporción muestral de respuestas afirmativas ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{180}{300} = 0.6$$ Calculamos su complementario ($\hat{q}$), que representa la proporción de respuestas negativas: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.6 = 0.4$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el cociente entre el número de éxitos y el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $95\%$, el nivel de significación es $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.05}{2} = 0.975$$ Consultando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.975$: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes en Bachillerato son $1.645$ para el $90\%$, $1.96$ para el $95\%$ y $2.575$ para el $99\%$.

La fórmula del error máximo admisible para una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{300}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{300}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0008} \approx 1.96 \cdot 0.02828 = 0.0554$$ El intervalo de confianza se define como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.6 - 0.0554, \, 0.6 + 0.0554) = (0.5446, \, 0.6554)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{(0.5446, \, 0.6554)}$$

**b) (1.25 puntos) ¿Cuál sería el número de habitantes mínimo necesario en este estudio de opinión para que se reduzca a un tercio el error cometido en el intervalo $(0.54, 0.66)$ con el mismo nivel de confianza?** Primero, calculamos el error cometido en el intervalo proporcionado $(0.54, 0.66)$. El error es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E_{original} = \frac{0.66 - 0.54}{2} = \frac{0.12}{2} = 0.06$$ El enunciado pide reducir este error a un tercio, por lo que el nuevo error $E'$ será: $$E' = \frac{E_{original}}{3} = \frac{0.06}{3} = 0.02$$ 💡 **Tip:** El centro del intervalo $(0.54, 0.66)$ es $0.6$, que coincide con nuestra $\hat{p}$ del apartado anterior.

Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejada de la fórmula del error: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E'} \right)^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}$$ Como mantenemos el mismo nivel de confianza ($95\%$), seguimos usando $z_{\alpha/2} = 1.96$. Usamos la proporción $\hat{p} = 0.6$ del estudio: $$n = \left( \frac{1.96}{0.02} \right)^2 \cdot 0.6 \cdot 0.4$$ $$n = (98)^2 \cdot 0.24 = 9604 \cdot 0.24 = 2304.96$$ Como el número de habitantes debe ser un número entero y buscamos el mínimo necesario para que el error sea **como mucho** $0.02$, siempre debemos redondear al siguiente número entero hacia arriba. ✅ **Resultado (Número mínimo de habitantes):** $$\boxed{n = 2305 \text{ habitantes}}$$