Programación lineal: optimización y región factible

**a) (1.3 puntos) Dibuje la región $R$ y calcule sus vértices.** Para representar la región $R$, primero identificamos las rectas que delimitan cada una de las inecuaciones dadas: - $r_1: 2x - 3y = 1 \implies y = \dfrac{2x - 1}{3}$ - $r_2: 4x + y = 9 \implies y = 9 - 4x$ - $r_3: x + y = 5 \implies y = 5 - x$ - $r_4: 9x - y = 0 \implies y = 9x$ - $r_5: y = 0$ (el eje $X$) 💡 **Tip:** Para dibujar cada recta, basta con dar un par de valores a la $x$ y obtener su pareja $y$. Por ejemplo, en $r_3$, si $x=0, y=5$ y si $x=5, y=0$.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan en la frontera de la región factible: 1. **Vértice $V_1$** (intersección de $r_4$ y $r_5$): $y = 9x$ y $y = 0 \implies 9x = 0 \implies x = 0$. Punto **$(0, 0)$**. 2. **Vértice $V_2$** (intersección de $r_1$ y $r_5$): $2x - 3(0) = 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$. Punto **$(0.5, 0)$**. 3. **Vértice $V_3$** (intersección de $r_1$ y $r_2$): $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \to y = 9 - 4x \end{cases}$ Sustituyendo: $2x - 3(9 - 4x) = 1 \implies 2x - 27 + 12x = 1 \implies 14x = 28 \implies x = 2$. $y = 9 - 4(2) = 1$. Punto **$(2, 1)$**. 4. **Vértice $V_4$** (intersección de $r_2$ y $r_3$): $\begin{cases} 4x + y = 9 \\ x + y = 5 \to y = 5 - x \end{cases}$ Sustituyendo: $4x + 5 - x = 9 \implies 3x = 4 \implies x = 4/3$. $y = 5 - 4/3 = 11/3$. Punto **$(4/3, 11/3)$**. 5. **Vértice $V_5$** (intersección de $r_3$ y $r_4$): $\begin{cases} x + y = 5 \\ 9x - y = 0 \to y = 9x \end{cases}$ Sustituyendo: $x + 9x = 5 \implies 10x = 5 \implies x = 0.5$. $y = 9(0.5) = 4.5$. Punto **$(0.5, 4.5)$**. ✅ **Vértices:** $$\boxed{V_1(0,0), \, V_2(0.5, 0), \, V_3(2, 1), \, V_4(4/3, 11/3), \, V_5(0.5, 4.5)}$$

**b) (0.5 puntos) Indique razonadamente si los puntos $A(2, 2)$ y $B(1, 3.5)$ pertenecen a la región $R$.** Para que un punto pertenezca a la región $R$, debe cumplir **todas** las inecuaciones dadas simultáneamente. **Comprobación de $A(2, 2)$:** 1. $2(2) - 3(2) = 4 - 6 = -2 \le 1$ (Sí) 2. $4(2) + 2 = 10 \le 9$ (**No**) Al fallar la segunda inecuación, ya podemos afirmar que el punto $A$ no está en la región. **Comprobación de $B(1, 3.5)$:** 1. $2(1) - 3(3.5) = 2 - 10.5 = -8.5 \le 1$ (Sí) 2. $4(1) + 3.5 = 7.5 \le 9$ (Sí) 3. $1 + 3.5 = 4.5 \le 5$ (Sí) 4. $9(1) - 3.5 = 5.5 \ge 0$ (Sí) 5. $3.5 \ge 0$ (Sí) El punto $B$ cumple todas las restricciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(2,2) \notin R \quad \text{y} \quad B(1, 3.5) \in R}$$

**c) (0.7 puntos) Obtenga los puntos de la región $R$ donde $F$ alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo de una función lineal en una región poligonal convexa se encuentran en sus **vértices**. Evaluamos $F(x, y) = 5x - 3y$ en cada vértice hallado en el apartado (a): - $F(V_1) = F(0, 0) = 5(0) - 3(0) = 0$ - $F(V_2) = F(0.5, 0) = 5(0.5) - 3(0) = 2.5$ - $F(V_3) = F(2, 1) = 5(2) - 3(1) = 10 - 3 = 7$ - $F(V_4) = F(4/3, 11/3) = 5(4/3) - 3(11/3) = \dfrac{20}{3} - \dfrac{33}{3} = -\dfrac{13}{3} \approx -4.33$ - $F(V_5) = F(0.5, 4.5) = 5(0.5) - 3(4.5) = 2.5 - 13.5 = -11$ Comparando los valores obtenidos: - El valor máximo es **7** y se alcanza en el punto **$(2, 1)$**. - El valor mínimo es **-11** y se alcanza en el punto **$(0.5, 4.5)$**. 💡 **Tip:** Si al evaluar los vértices encontraras dos con el mismo valor máximo, el máximo se alcanzaría en todo el segmento que los une. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo en } V_3(2, 1) \text{ con valor } 7; \quad \text{Mínimo en } V_5(0.5, 4.5) \text{ con valor } -11}$$