Matriz inversa y ecuaciones matriciales con parámetros

**a) (1 punto) Calcule los valores del parámetro $a$ para los que tanto $A$ como $B$ admitan inversa.** Para que una matriz cuadrada admita inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|M| \neq 0$). Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 1) - (0 \cdot a \cdot 0) - (2 \cdot 1 \cdot a) - (1 \cdot 0 \cdot 1)$$ $$|A| = a^2 - 2a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - 2a = 0 \implies a(a - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$a = 0$** y **$a = 2$**. Por tanto, $A$ admite inversa si $a \neq 0$ y $a \neq 2$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si y solo si su determinante es no nulo.

Ahora calculamos el determinante de la matriz $B$, que es de orden $2 \times 2$: $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ a & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1)) - ((-1) \cdot a) = -2 + a = a - 2$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$a - 2 = 0 \implies a = 2$$ Por tanto, $B$ admite inversa si $a \neq 2$.

Para que **tanto $A$ como $B$** admitan inversa simultáneamente, se deben cumplir ambas condiciones a la vez: 1. Para $A$: $a \neq 0$ y $a \neq 2$ 2. Para $B$: $a \neq 2$ Combinando ambas, el parámetro $a$ puede tomar cualquier valor real excepto $0$ y $2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}}$$

**b) (1.5 puntos) Para $a = 1$, halle una matriz $X$ que satisfaga $A \cdot X \cdot B = C$.** Primero, comprobamos si para $a=1$ las matrices tienen inversa. Según el apartado anterior: - $|A| = 1^2 - 2(1) = -1 \neq 0$ (Existe $A^{-1}$) - $|B| = 1 - 2 = -1 \neq 0$ (Existe $B^{-1}$) Para despejar $X$ en la ecuación $A \cdot X \cdot B = C$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot B) \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X \cdot (B \cdot B^{-1}) = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$ $$I \cdot X \cdot I = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$ $$X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$ 💡 **Tip:** El orden de la multiplicación es fundamental en álgebra matricial. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Para $a=1$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y su determinante es $|A| = -1$. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Para $a=1$, la matriz es $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y su determinante es $|B| = -1$. Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se halla rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo por el determinante: $$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Calculamos $X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$. Realizamos primero el producto $A^{-1} \cdot C$: $$A^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2)+1(1)-2(2) & 1(-1)+1(-1)-2(0) \\ 0(2)-1(1)+2(2) & 0(-1)-1(-1)+2(0) \\ 0(2)+1(1)-1(2) & 0(-1)+1(-1)-1(0) \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1(1)-2(1) & -1(-1)-2(-2) \\ 3(1)+1(1) & 3(-1)+1(-2) \\ -1(1)-1(1) & -1(-1)-1(-2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 4 & -5 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 4 & -5 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}}$$