Estudio completo de una función polinómica y cálculo de áreas

**a) (1 punto) Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de $f$ y su curvatura.** Primero, calculamos los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$: * **Corte con el eje OY (eje de ordenadas):** Hacemos $x=0$. $$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0 \implies (0,0)$$ * **Corte con el eje OX (eje de abscisas):** Hacemos $f(x)=0$. $$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$$ Extraemos factor común $x$: $$x(x^2 - 3x + 2) = 0$$ Esto nos da la primera solución $x=0$. Para el resto, resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 2$ y $x_2 = 1$. 💡 **Tip:** Al resolver $f(x)=0$, si puedes sacar factor común $x$, hazlo siempre para reducir el grado del polinomio. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0,0), (1,0), (2,0)}$$

Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) calculamos la primera derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 - 6x + 2 = 0 \implies x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Los valores aproximados son $x_1 \approx 0.42$ y $x_2 \approx 1.58$. Evaluamos el signo de $f'(x)$ en la recta real: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1-\frac{\sqrt{3}}{3}) & 1-\frac{\sqrt{3}}{3} & (1-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1+\frac{\sqrt{3}}{3}) & 1+\frac{\sqrt{3}}{3} & (1+\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \text{f} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Intervalos:** - **Creciente:** $(-\infty, 1-\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (1+\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$ - **Decreciente:** $(1-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1+\frac{\sqrt{3}}{3})$

A partir de la tabla anterior, calculamos las ordenadas de los extremos: * **Máximo relativo:** en $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$. $$f(1-\sqrt{3}/3) = \dots = \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 0.385$$ * **Mínimo relativo:** en $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$. $$f(1+\sqrt{3}/3) = \dots = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \approx -0.385$$ ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Máx: } (1-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{9}), \quad \text{Mín: } (1+\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{9})}$$

Calculamos la segunda derivada para estudiar la curvatura: $$f''(x) = 6x - 6$$ Igualamos a cero: $$6x - 6 = 0 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (hacia abajo)} & \text{Inflexión} & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ 💡 **Tip:** En muchos libros se llama "cóncava" a la forma de $\cup$ y "convexa" a la forma de $\cap$. Sigue la nomenclatura que use tu profesor, pero lo importante es el signo de la segunda derivada. ✅ **Curvatura:** - **Cóncava hacia abajo (convexa):** $(-\infty, 1)$ - **Cóncava hacia arriba (cóncava):** $(1, +\infty)$ - **Punto de Inflexión:** $(1, 0)$

**b) (0.5 puntos) Represente gráficamente la función $f$.** Utilizando los puntos de corte $(0,0), (1,0), (2,0)$, el máximo relativo en $\approx (0.42, 0.38)$, el mínimo relativo en $\approx (1.58, -0.38)$ y el punto de inflexión en $(1,0)$, trazamos la curva.

**c) (1 punto) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas.** El recinto está limitado por los puntos de corte con el eje OX: $x=0$, $x=1$ y $x=2$. Esto divide el área en dos regiones: 1. De $x=0$ a $x=1$ (donde la función es positiva). 2. De $x=1$ a $x=2$ (donde la función es negativa). Calculamos la integral definida en cada intervalo. Primero hallamos la primitiva: $$\int (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + C$$ Aplicamos la Regla de Barrow para cada región: * **Área 1 ($A_1$):** $$A_1 = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1 = \left(\frac{1}{4} - 1 + 1\right) - (0) = \frac{1}{4}$$ * **Área 2 ($A_2$):** $$A_2 = \left| \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x) dx \right| = \left| \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 \right| = \left| \left(\frac{16}{4} - 8 + 4\right) - \left(\frac{1}{4}\right) \right| = \left| (4-8+4) - \frac{1}{4} \right| = \left| -\frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser positiva. Si la integral sale negativa, es porque la función está por debajo del eje OX; simplemente toma el valor absoluto. Área total: $A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ u}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 0.5 \text{ unidades cuadradas}}$$