Análisis del valor de las acciones mediante derivadas e integrales

**a) (0.75 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $v$.** Para determinar el crecimiento y decrecimiento, debemos estudiar el signo de la derivada $v'(t)$. Primero, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$v'(t) = t^2 - 5t + 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $t_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ - $t_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ Como el dominio es $t \in [0, 6]$, analizamos el signo de $v'(t)$ en los intervalos $(0, 2)$, $(2, 3)$ y $(3, 6)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, 6)\\ \hline v'(t) & + & 0 & - & 0 & +\\ \text{Monotonía} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máx} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mín} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para saber el signo en cada tramo, sustituimos un valor intermedio en $v'(t)$. Por ejemplo, $v'(1) = 1^2 - 5(1) + 6 = 2 > 0$ (Creciente). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } [0, 2) \cup (3, 6] \text{ y decreciente en } (2, 3)}$$

**b) (0.75 puntos) Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que $v(0) = 10$, halle la función $v$.** La función $v(t)$ es la primitiva (integral indefinida) de su variación instantánea $v'(t)$. Calculamos la integral: $$v(t) = \int (t^2 - 5t + 6) dt = \frac{t^3}{3} - 5\frac{t^2}{2} + 6t + C$$ Para hallar la constante $C$, usamos la condición inicial dada $v(0) = 10$: $$v(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{5 \cdot 0^2}{2} + 6 \cdot 0 + C = 10 \implies C = 10$$ Sustituimos $C$ en la expresión: 💡 **Tip:** Recuerda que al integrar un polinomio de tipo $x^n$, el resultado es $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{v(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 6t + 10}$$

**c) (0.5 puntos) Si un inversor compró $3000$ de estas acciones en el instante $t = 2$ y posteriormente las vendió en el instante $t = 4$, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión.** Primero, calculamos el valor de una acción en los momentos de compra ($t=2$) y venta ($t=4$): - Valor en la compra ($t=2$): $$v(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 6(2) + 10 = \frac{8}{3} - 10 + 12 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8 + 36}{3} = \frac{44}{3} \approx 14.67 \text{ €}$$ - Valor en la venta ($t=4$): $$v(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 6(4) + 10 = \frac{64}{3} - 40 + 24 + 10 = \frac{64}{3} - 6 = \frac{64 - 18}{3} = \frac{46}{3} \approx 15.33 \text{ €}$$ La diferencia de valor por acción es: $$\text{Beneficio por acción} = v(4) - v(2) = \frac{46}{3} - \frac{44}{3} = \frac{2}{3} \text{ €}$$ Como compró $3000$ acciones, la ganancia total es: $$\text{Ganancia total} = 3000 \cdot \frac{2}{3} = 2000 \text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Obtuvo una ganancia de } 2000 \text{ euros}}$$

**d) (0.5 puntos) ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta.** Para maximizar la ganancia (Venta - Compra), el inversor debe comprar en el instante donde el valor es el **mínimo absoluto** y vender en el instante donde el valor es el **máximo absoluto** (siempre que el momento de venta sea posterior al de compra). Analizamos los valores de $v(t)$ en los extremos del intervalo y en los puntos críticos: - En $t=0$: $v(0) = 10$ - En $t=2$ (Máximo relativo): $v(2) = 44/3 \approx 14.67$ - En $t=3$ (Mínimo relativo): $v(3) = \frac{27}{3} - \frac{5(9)}{2} + 6(3) + 10 = 9 - 22.5 + 18 + 10 = 14.5$ - En $t=6$: $v(6) = \frac{6^3}{3} - \frac{5 \cdot 6^2}{2} + 6(6) + 10 = 72 - 90 + 36 + 10 = 28$ Observamos que: - El **mínimo absoluto** se alcanza en $t = 0$ ($v=10$). - El **máximo absoluto** se alcanza en $t = 6$ ($v=28$). Por tanto, para que la ganancia sea máxima, debe comprar al inicio y vender al final del periodo estudiado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Compra en } t = 0 \text{ y venta en } t = 6}$$