Probabilidad con moneda trucada y lanzamientos repetidos

**a) (0.5 puntos) Halle la probabilidad de que, al lanzar la moneda, se obtenga cara.** Definimos los sucesos elementales al lanzar la moneda: - $C$: obtener cara. - $X$: obtener cruz. El enunciado nos dice que la probabilidad de obtener cara es el doble que la de obtener cruz. Expresado matemáticamente: $$P(C) = 2 \cdot P(X)$$ Como estos son los dos únicos resultados posibles (sucesos contrarios), su suma debe ser igual a la unidad: $$P(C) + P(X) = 1$$ Sustituimos la primera relación en la segunda: $$2 \cdot P(X) + P(X) = 1 \implies 3 \cdot P(X) = 1 \implies P(X) = \frac{1}{3}$$ Calculamos ahora $P(C)$: $$P(C) = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** En cualquier experimento aleatorio, la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales del espacio muestral siempre debe ser $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C) = \frac{2}{3}}$$

Para resolver los siguientes apartados, donde se lanza la moneda dos veces, es muy útil representar todas las posibilidades y sus probabilidades mediante un diagrama de árbol.

**b) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga una cara y una cruz sin importar el orden.** El suceso "una cara y una cruz" se compone de dos casos posibles en el lanzamiento de dos monedas: 1. Salir primero cara y luego cruz: $(C, X)$ 2. Salir primero cruz y luego cara: $(X, C)$ Calculamos la probabilidad sumando ambas ramas del árbol: $$P(\text{una } C \text{ y una } X) = P(C, X) + P(X, C)$$ $$P(\text{una } C \text{ y una } X) = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \right)$$ $$P(\text{una } C \text{ y una } X) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$$ 💡 **Tip:** Cuando el orden no importa, debemos sumar todas las combinaciones que cumplan la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{4}{9} \approx 0.4444}$$

**c) (0.5 puntos) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga al menos una cara.** El suceso "al menos una cara" engloba los casos $(C, C)$, $(C, X)$ y $(X, C)$. Es más sencillo calcularlo mediante el **suceso contrario**, que es no obtener ninguna cara (es decir, obtener dos cruces, $(X, X)$): $$P(\text{al menos una } C) = 1 - P(X, X)$$ Calculamos $P(X, X)$: $$P(X, X) = P(X) \cdot P(X) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$$ Por tanto: $$P(\text{al menos una } C) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$ 💡 **Tip:** El uso del suceso contrario $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ es muy útil cuando el enunciado incluye la expresión "al menos uno". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{8}{9} \approx 0.8889}$$

**d) (0.75 puntos) Si al lanzar la moneda dos veces observamos que ha salido al menos una cara, halle la probabilidad de que se obtengan dos caras.** Estamos ante una **probabilidad condicionada**. Definimos los sucesos: - $A$: obtener dos caras $\to \{(C, C)\}$ - $B$: obtener al menos una cara $\to \{(C, C), (C, X), (X, C)\}$ Buscamos $P(A|B)$. Según la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Analizamos los elementos: - $P(B) = \frac{8}{9}$ (calculado en el apartado anterior). - $P(A \cap B)$: Es la probabilidad de obtener dos caras y, a la vez, al menos una cara. Esto es simplemente la probabilidad de obtener dos caras, $P(C, C)$. $$P(A \cap B) = P(C, C) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(A|B) = \frac{4/9}{8/9} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la definición de probabilidad condicionada: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En este caso, como $A$ es un subconjunto de $B$, la intersección es el propio suceso $A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{1}{2} = 0.5}$$