Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Detección de Spam

**a) (1.25 puntos) Halle la probabilidad de que en un correo elegido al azar en el que aparezca la palabra "lottery" sea spam.** Primero, definimos los sucesos del problema para poder operar con ellos: - $S$: El correo es spam. - $\bar{S}$: El correo no es spam. - $L$: El correo contiene la palabra "lottery". - $\bar{L}$: El correo no contiene la palabra "lottery". Extraemos los datos del enunciado: - $P(S) = 0.20$ (el $20\%$ son spam). - $P(\bar{S}) = 1 - 0.20 = 0.80$ (el $80\%$ no son spam). - $P(L|S) = 0.40$ (probabilidad de "lottery" si es spam). - $P(L|\bar{S}) = 0.006$ (probabilidad de "lottery" si no es spam, $0.6\% = 0.006$). Representamos la situación mediante un **árbol de probabilidad**:

Para responder al apartado a), necesitamos conocer la probabilidad total de que aparezca la palabra "lottery", $P(L)$. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(L) = P(S) \cdot P(L|S) + P(\bar{S}) \cdot P(L|\bar{S})$$ $$P(L) = (0.2 \cdot 0.4) + (0.8 \cdot 0.006)$$ $$P(L) = 0.08 + 0.0048 = 0.0848$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las ramas del árbol que terminan en el suceso que nos interesa (en este caso, $L$).

Nos piden la probabilidad de que sea spam sabiendo que contiene la palabra "lottery", es decir, $P(S|L)$. Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(S|L) = \frac{P(S \cap L)}{P(L)} = \frac{P(S) \cdot P(L|S)}{P(L)}$$ $$P(S|L) = \frac{0.08}{0.0848} \approx 0.9434$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(S|L) \approx 0.9434 \quad (94.34\%)}$$

**b) (0.5 puntos) Halle la probabilidad de que un correo elegido al azar en el que no aparezca la palabra "lottery" no sea spam.** Debemos calcular $P(\bar{S}|\bar{L})$. Primero hallamos la probabilidad de que no aparezca la palabra "lottery", $P(\bar{L})$, que es el suceso contrario a $L$: $$P(\bar{L}) = 1 - P(L) = 1 - 0.0848 = 0.9152$$ Ahora aplicamos de nuevo la definición de probabilidad condicionada: $$P(\bar{S}|\bar{L}) = \frac{P(\bar{S} \cap \bar{L})}{P(\bar{L})} = \frac{P(\bar{S}) \cdot P(\bar{L}|\bar{S})}{P(\bar{L})}$$ $$P(\bar{S}|\bar{L}) = \frac{0.8 \cdot 0.994}{0.9152} = \frac{0.7952}{0.9152} \approx 0.8689$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(\bar{S}|\bar{L}) \approx 0.8689 \quad (86.89\%)}$$

**c) (0.75 puntos) Si un correo se etiqueta como spam si aparece la palabra "lottery" y como no spam si esta palabra no aparece, calcule la probabilidad de que un correo se etiquete incorrectamente.** Un correo se etiqueta **incorrectamente** en dos situaciones: 1. Es **spam** pero no tiene la palabra "lottery" (se etiqueta como no spam). Esto es el suceso $S \cap \bar{L}$. 2. **No es spam** pero tiene la palabra "lottery" (se etiqueta como spam). Esto es el suceso $\bar{S} \cap L$. Calculamos la probabilidad de la unión de estos dos casos incompatibles: $$P(\text{Error}) = P(S \cap \bar{L}) + P(\bar{S} \cap L)$$ Consultamos los valores calculados en las ramas del árbol del paso 1: - $P(S \cap \bar{L}) = P(S) \cdot P(\bar{L}|S) = 0.2 \cdot 0.6 = 0.12$ - $P(\bar{S} \cap L) = P(\bar{S}) \cdot P(L|\bar{S}) = 0.8 \cdot 0.006 = 0.0048$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(\text{Error}) = 0.12 + 0.0048 = 0.1248$$ 💡 **Tip:** Un error de etiquetado ocurre cuando el estado real (Spam/No Spam) no coincide con el criterio de detección (Lottery/No Lottery). ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{P(\text{Error}) = 0.1248 \quad (12.48\%)}$$