Muestreo estratificado y distribución de la media muestral

**a) (1.25 puntos) Una población está dividida en cuatro estratos de $250, 300, 400$ y $350$ individuos. Realizado un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado $20$ individuos del primer estrato. Determine el tamaño de la población, el tamaño de la muestra y el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos.** Primero, sumamos el número de individuos de cada estrato para obtener el tamaño total de la población ($N$): $$N = 250 + 300 + 400 + 350 = 1300$$ En un muestreo estratificado con afijación proporcional, la proporción entre el tamaño de la muestra de un estrato ($n_i$) y el tamaño de dicho estrato ($N_i$) es constante para todos los estratos: $$\frac{n_1}{N_1} = \frac{n_2}{N_2} = \frac{n_3}{N_3} = \frac{n_4}{N_4} = \frac{n}{N}$$ Como conocemos los datos del primer estrato ($n_1 = 20$ y $N_1 = 250$), calculamos la constante de proporcionalidad ($k$): $$k = \frac{n_1}{N_1} = \frac{20}{250} = 0.08$$ 💡 **Tip:** La constante $k$ representa la fracción de la población que será seleccionada para la muestra en cada estrato. ✅ **Resultado (población):** $$\boxed{N = 1300}$$

Utilizando la constante de proporcionalidad $k = 0.08$, podemos hallar el tamaño total de la muestra ($n$) y el número de individuos de cada estrato restante ($n_2, n_3, n_4$): 1. **Tamaño de la muestra total ($n$):** $$n = k \cdot N = 0.08 \cdot 1300 = 104$$ 2. **Individuos del segundo estrato ($n_2$):** $$n_2 = k \cdot N_2 = 0.08 \cdot 300 = 24$$ 3. **Individuos del tercer estrato ($n_3$):** $$n_3 = k \cdot N_3 = 0.08 \cdot 400 = 32$$ 4. **Individuos del cuarto estrato ($n_4$):** $$n_4 = k \cdot N_4 = 0.08 \cdot 350 = 28$$ Comprobamos que la suma es correcta: $20 + 24 + 32 + 28 = 104$. ✅ **Resultado (muestra y estratos):** $$\boxed{n=104; \quad n_2=24, \quad n_3=32, \quad n_4=28}$$

**b1) (0.25 puntos) Indique la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño $49$.** Los datos proporcionados para la población son: - Media poblacional: $\mu = 6.4$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.7$ - Tamaño de la muestra: $n = 49$ Según el Teorema Central del Límite, para muestras suficientemente grandes (generalmente $n \ge 30$), la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{0.7}{\sqrt{49}} = \frac{0.7}{7} = 0.1$$ Por tanto, la distribución es: $$\bar{X} \sim N(6.4, 0.1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media de la distribución de las medias muestrales coincide con la media de la población, pero su dispersión (desviación típica) es menor cuanto mayor es la muestra. ✅ **Resultado (distribución):** $$\boxed{\bar{X} \sim N(6.4, 0.1)}$$

**b2) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre $6.3$ y $6.8$ puntos.** Debemos calcular $p(6.3 \le \bar{X} \le 6.8)$. Para ello, tipificamos la variable a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$p(6.3 \le \bar{X} \le 6.8) = p\left(\frac{6.3 - 6.4}{0.1} \le Z \le \frac{6.8 - 6.4}{0.1}\right)$$ $$p(-1 \le Z \le 4)$$ Calculamos la probabilidad utilizando las propiedades de la distribución normal: $$p(-1 \le Z \le 4) = p(Z \le 4) - p(Z \le -1)$$ Buscamos los valores en la tabla de la $N(0, 1)$: - $p(Z \le 4) \approx 1$ (ya que 4 es un valor muy alejado en la cola derecha). - $p(Z \le -1) = 1 - p(Z \le 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$ Sustituimos: $$1 - 0.1587 = 0.8413$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que $Z$ sea menor que un número negativo $-a$ se calcula como $1 - p(Z \le a)$ por la simetría de la campana de Gauss. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{p(6.3 \le \bar{X} \le 6.8) = 0.8413}$$