Intervalo de confianza y error para la proporción

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del $98\%$, para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Número de individuos con la característica (donantes): $x = 64$ Calculamos la **proporción muestral ($\hat{p}$)** y su complementario ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{64}{400} = 0.16$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.16 = 0.84$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre se calcula dividiendo el número de casos favorables entre el tamaño total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $98\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$ 2. $\alpha/2 = 0.01$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor más cercano a $0.99$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.33$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca el límite en la distribución normal estándar para que el área central sea igual al nivel de confianza deseado.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error cometido: $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.16 \cdot 0.84}{400}} = 2.33 \cdot \sqrt{0.000336} \approx 2.33 \cdot 0.01833 \approx 0.0427$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0.16 - 0.0427, \quad 0.16 + 0.0427) = (0.1173, \quad 0.2027)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.1173, \; 0.2027)}$$

**b) (1.25 puntos) Si el nivel de confianza es del $95\%$, calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza.** Para un nivel de confianza del $95\%$, el valor crítico es: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$ 2. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ 3. En las tablas, este valor corresponde exactamente a **$z_{\alpha/2} = 1.96$**. Calculamos el nuevo error máximo: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.16 \cdot 0.84}{400}}$$ $$E = 1.96 \cdot 0.01833 = 0.0359268 \approx 0.0359$$ ✅ **Resultado (Error):** $$\boxed{E = 0.0359}$$

Analizamos la relación entre el nivel de confianza y el error: La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$. En ella observamos que el error es directamente proporcional al valor crítico $z_{\alpha/2}$. - Si el **nivel de confianza disminuye** ($1-\alpha$ baja), el área central de la normal se hace más pequeña. - Esto implica que el valor de **$z_{\alpha/2}$ disminuye**. - Al ser el error proporcional a $z_{\alpha/2}$, el **error máximo también disminuirá**. Comparando ambos apartados: - Para el $98\%$, $E = 0.0427$ - Para el $95\%$, $E = 0.0359$ ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{El error será menor al disminuir el nivel de confianza.}}$$