Ecuaciones matriciales e inversa de una matriz

**a) (1.5 puntos) Pruebe que se verifica que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 4A + 5I_3)$.** Para comprobar la igualdad, primero calcularemos la expresión del lado derecho. Empezamos calculando $A^2$ (que es $A \cdot A$): $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0\cdot 0, 1\cdot 0 + 0\cdot 2 + 0\cdot (-1), 1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 0\cdot 1) = (1, 0, 0)$ - Fila 2: $(0\cdot 1 + 2\cdot 0 + 0\cdot 0, 0\cdot 0 + 2\cdot 2 + 0\cdot (-1), 0\cdot 0 + 2\cdot 0 + 0\cdot 1) = (0, 4, 0)$ - Fila 3: $(0\cdot 1 - 1\cdot 0 + 1\cdot 0, 0\cdot 0 - 1\cdot 2 + 1\cdot (-1), 0\cdot 0 - 1\cdot 0 + 1\cdot 1) = (0, -3, 1)$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general y se realiza multiplicando los elementos de las filas de la primera por las columnas de la segunda.

Ahora calculamos el valor de la expresión completa $A^2 - 4A + 5I_3$, donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3: $$A^2 - 4A + 5I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos los múltiplos: $$= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ Sumamos y restamos elemento a elemento: $$= \begin{pmatrix} 1-4+5 & 0+0+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 4-8+5 & 0+0+0 \\ 0-(-4)+0 & -3-(-4)+0 & 1-4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente multiplicamos por $\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2}(A^2 - 4A + 5I_3) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$

Para probar que esta matriz es realmente $A^{-1}$, debemos verificar que al multiplicarla por $A$ obtenemos la identidad ($A \cdot A^{-1} = I_3$): $$A \cdot \left[ \frac{1}{2}(A^2 - 4A + 5I_3) \right] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto: - Fila 1: $(1\cdot 1 + 0 + 0, 0, 0) = (1, 0, 0)$ - Fila 2: $(0, 2\cdot(1/2) + 0, 0) = (0, 1, 0)$ - Fila 3: $(0, -1\cdot(1/2) + 1\cdot(1/2), 1\cdot 1) = (0, 0, 1)$ Como el resultado es $I_3$, queda probado que: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Dada la ecuación matricial $X^t A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, determine la dimensión de $X$ y resuelva la ecuación.** Llamemos $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. La matriz $B$ tiene dimensión $2 \times 3$. La matriz $A$ tiene dimensión $3 \times 3$. En la ecuación $X^t A = B$, para que el producto sea posible, el número de columnas de $X^t$ debe coincidir con el número de filas de $A$ (que es 3). Además, el resultado $B$ hereda las filas de $X^t$ y las columnas de $A$. Por tanto: - $X^t$ debe ser de dimensión $2 \times 3$. Como $X^t$ es la transpuesta de $X$, la dimensión de $X$ es el intercambio de filas y columnas de $X^t$: $$\boxed{\text{Dimensión de } X: 3 \times 2}$$ 💡 **Tip:** Si una matriz $M$ es de dimensión $m \times n$, su transpuesta $M^t$ es de dimensión $n \times m$.

Para despejar $X^t$ de la ecuación $X^t A = B$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha en ambos lados: $$X^t A A^{-1} = B A^{-1} \implies X^t = B A^{-1}$$ Utilizamos la matriz $A^{-1}$ hallada en el apartado anterior: $$X^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto: - Fila 1: - $1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 0\cdot 0 = 1$ - $1\cdot 0 + 2\cdot(1/2) + 0\cdot(1/2) = 1$ - $1\cdot 0 + 2\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0$ - Fila 2: - $3\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot 0 = 3$ - $3\cdot 0 + (-1)\cdot(1/2) + 1\cdot(1/2) = 0$ - $3\cdot 0 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1$ Obtenemos: $$X^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Para obtener $X$, trasponemos el resultado obtenido para $X^t$: $$X = (X^t)^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$