Optimización de la producción de anillos

En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema. Queremos saber cuántos anillos de cada tipo se deben fabricar: - $x$: número de anillos del **primer tipo** fabricados a la semana. - $y$: número de anillos del **segundo tipo** fabricados a la semana. La función que queremos maximizar es el valor total de la venta, que llamaremos $V(x, y)$: $$V(x, y) = 21x + 50y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar cantidades reales y positivas en este tipo de problemas de contexto.

A partir del enunciado, traducimos las limitaciones a un sistema de inecuaciones: 1. **Piedras de mayor calidad:** Dispone de $200$. El tipo 1 usa $1$ y el tipo 2 usa $3$. $$x + 3y \le 200$$ 2. **Piedras de menor calidad:** Dispone de $150$. El tipo 1 usa $2$ y el tipo 2 usa $1$. $$2x + y \le 150$$ 3. **Tiempo de trabajo:** Quiere trabajar al menos $1900$ minutos. El tipo 1 tarda $20$ min y el tipo 2 tarda $50$ min. $$20x + 50y \ge 1900 \implies 2x + 5y \ge 190$$ 4. **Mínimo de anillos tipo 1:** Deben fabricarse al menos $20$. $$x \ge 20$$ 5. **No negatividad:** Como son objetos físicos, $y$ no puede ser negativo. $$y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones (como la del tiempo dividiendo por 10) facilita enormemente los cálculos posteriores.

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región de soluciones factibles. - $r_1: x + 3y = 200$ (Pasa por $(200, 0)$ y $(50, 50)$) - $r_2: 2x + y = 150$ (Pasa por $(75, 0)$ y $(50, 50)$) - $r_3: 2x + 5y = 190$ (Pasa por $(95, 0)$ y $(20, 30)$) - $r_4: x = 20$ (Recta vertical) La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.

Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas que se cortan: - **Vértice A** ($r_4$ y $r_3$): $\begin{cases} x = 20 \\ 2x + 5y = 190 \end{cases} \implies 2(20) + 5y = 190 \implies 5y = 150 \implies y = 30$. $\mathbf{A(20, 30)}$ - **Vértice B** ($r_4$ y $r_1$): $\begin{cases} x = 20 \\ x + 3y = 200 \end{cases} \implies 20 + 3y = 200 \implies 3y = 180 \implies y = 60$. $\mathbf{B(20, 60)}$ - **Vértice C** ($r_1$ y $r_2$): $\begin{cases} x + 3y = 200 \\ 2x + y = 150 \end{cases} \xrightarrow{\text{sustitución } y = 150-2x} x + 3(150-2x) = 200 \implies -5x = -250 \implies x = 50, y = 50$. $\mathbf{C(50, 50)}$ - **Vértice D** ($r_2$ y $r_3$): $\begin{cases} 2x + y = 150 \\ 2x + 5y = 190 \end{cases} \xrightarrow{\text{restamos ec.}} 4y = 40 \implies y = 10, x = 70$. $\mathbf{D(70, 10)}$

Evaluamos $V(x, y) = 21x + 50y$ en cada uno de los vértices para hallar el valor máximo: $$\begin{array}{l|l} \text{Vértice} & V(x, y) = 21x + 50y \\ \hline A(20, 30) & 21(20) + 50(30) = 420 + 1500 = 1920\text{ €} \\ B(20, 60) & 21(20) + 50(60) = 420 + 3000 = 3420\text{ €} \\ \mathbf{C(50, 50)} & 21(50) + 50(50) = 1050 + 2500 = \mathbf{3550\text{ €}} \\ D(70, 10) & 21(70) + 50(10) = 1470 + 500 = 1970\text{ €} \end{array}$$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(50, 50)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Deben montarse 50 anillos de cada tipo para una venta máxima de 3550 €}}$$