Área entre curvas y optimización de costes

**a) (1 punto) Represente gráficamente la zona deteriorada.** Para representar la región acotada, primero debemos hallar los puntos donde se cortan las gráficas de $f(x) = (x - 1)^2$ y $g(x) = 5 - 2x$. Igualamos ambas funciones: $$(x-1)^2 = 5 - 2x$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio: $$x^2 - 2x + 1 = 5 - 2x$$ Simplificamos restando $-2x$ en ambos lados y despejando la ecuación de segundo grado: $$x^2 + 1 = 5$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm \sqrt{4} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el cálculo del área en el siguiente apartado. Los puntos de intersección son: - Para $x = -2$: $g(-2) = 5 - 2(-2) = 9 \implies (-2, 9)$ - Para $x = 2$: $g(2) = 5 - 2(2) = 1 \implies (2, 1)$

La función $f(x) = (x-1)^2$ es una parábola con vértice en $(1, 0)$ que abre hacia arriba. La función $g(x) = 5 - 2x$ es una recta con pendiente negativa. Para dibujarlas correctamente, observamos que en el intervalo $(-2, 2)$, la recta $g(x)$ está por encima de la parábola $f(x)$. Por ejemplo, en $x=0$: $f(0) = (0-1)^2 = 1$ $g(0) = 5 - 2(0) = 5$ Como $5 \gt 1$, la recta es la función superior. La región deteriorada es la superficie encerrada entre ambas curvas.

**b) (1.5 puntos) Para reparar la región quemada, se ha de utilizar plástico cuyo coste es de $15$ euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, ¿cuánto costará el plástico comprado?** Primero calculamos el área de la región deteriorada ($A$). El área entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia entre la función superior y la inferior: $$A = \int_{-2}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{-2}^{2} [(5 - 2x) - (x - 1)^2] \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} [5 - 2x - (x^2 - 2x + 1)] \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} (5 - 2x - x^2 + 2x - 1) \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$

Calculamos la integral indefinida y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3}$$ Ahora evaluamos en los límites: $$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$$ $$A = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right)$$ $$A = \frac{24-8}{3} - \frac{-24+8}{3} = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ m}^2$$ El área quemada es aproximadamente $10.67 \text{ m}^2$. $$\boxed{A = \frac{32}{3} \text{ m}^2}$$

Sea $P$ la cantidad de plástico comprado. El enunciado dice que se desperdicia la tercera parte del plástico adquirido, lo que significa que aprovechamos las dos terceras partes: $$\text{Plástico aprovechado} = P - \frac{1}{3}P = \frac{2}{3}P$$ Este plástico aprovechado debe cubrir exactamente el área quemada $A$: $$\frac{2}{3}P = \frac{32}{3}$$ Despejamos $P$: $$2P = 32 \implies P = \frac{32}{2} = 16 \text{ m}^2$$ Finalmente, calculamos el coste sabiendo que el precio es de $15$ €/m²: $$\text{Coste} = 16 \text{ m}^2 \cdot 15 \text{ €/m}^2 = 240 \text{ €}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El plástico comprado costará 240 euros}}$$