Estudio de una función racional: beneficios de una empresa

**a) (1.5 puntos) Represente gráficamente la función $f$, determinando los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de las asíntotas, y estudiando la monotonía y la curvatura de $f$.** Primero, calculamos los puntos de corte de la función $f(t) = \frac{12t - 24}{t+3}$ para el dominio $t \ge 0$. * **Corte con el eje $Y$ (donde $t=0$):** $$f(0) = \frac{12(0) - 24}{0+3} = \frac{-24}{3} = -8$$ El punto es **$(0, -8)$**. * **Corte con el eje $X$ (donde $f(t)=0$):** $$\frac{12t - 24}{t+3} = 0 \implies 12t - 24 = 0 \implies 12t = 24 \implies t = 2$$ El punto es **$(2, 0)$**. 💡 **Tip:** Para hallar el corte con el eje $X$, basta con igualar el numerador a cero (siempre que el valor obtenido no anule también al denominador). ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, -8) \text{ y } (2, 0)}$$

Analizamos las asíntotas de la función: * **Asíntotas Verticales:** Se producen donde el denominador se anula: $t+3 = 0 \implies t = -3$. Sin embargo, el dominio de la función es $t \ge 0$, por lo que **no hay asíntotas verticales** en el intervalo de estudio. * **Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{12t - 24}{t+3} = \lim_{t \to +\infty} \frac{12t}{t} = 12$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 12$**. * **Asíntotas Oblicuas:** Como existe una asíntota horizontal hacia $+\infty$, no puede haber una asíntota oblicua en ese sentido. ✅ **Resultado (asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay}; \quad \text{AH: } y = 12; \quad \text{AO: No hay}}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(t)$: $$f'(t) = \frac{(12)(t+3) - (12t-24)(1)}{(t+3)^2} = \frac{12t + 36 - 12t + 24}{(t+3)^2} = \frac{60}{(t+3)^2}$$ Como $60 > 0$ y $(t+3)^2 > 0$ para cualquier $t \ge 0$, entonces $f'(t) > 0$ en todo su dominio. **Tabla de signos de $f'(t)$:** $$ \begin{array}{c|c} t & (0, +\infty) \\ \hline f'(t) & + \\ \hline f(t) & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array} $$ La función es **siempre creciente** para $t \ge 0$ y no presenta extremos relativos (máximos o mínimos). ✅ **Monotonía:** $$\boxed{\text{Creciente en } [0, +\infty)}$$

Calculamos la segunda derivada $f''(t)$ a partir de $f'(t) = 60(t+3)^{-2}$: $$f''(t) = 60 \cdot (-2) \cdot (t+3)^{-3} \cdot 1 = \frac{-120}{(t+3)^3}$$ Para $t \ge 0$, el denominador $(t+3)^3$ siempre es positivo, mientras que el numerador es $-120$. Por tanto, $f''(t) < 0$ en todo el dominio. **Tabla de signos de $f''(t)$:** $$ \begin{array}{c|c} t & (0, +\infty) \\ \hline f''(t) & - \\ \hline f(t) & \text{Cóncava } (\cap) \end{array} $$ La función es **cóncava** (o cóncava hacia abajo) en todo su dominio y no tiene puntos de inflexión. ✅ **Curvatura:** $$\boxed{\text{Cóncava en } [0, +\infty)}$$

Con la información obtenida (puntos de corte $(0,-8)$ y $(2,0)$, asíntota horizontal $y=12$ y el hecho de que es siempre creciente y cóncava), podemos esbozar la gráfica: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y = \\frac{12x - 24}{x + 3} \\{x \\ge 0\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "ah", "latex": "y = 12", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "p1", "latex": "(0, -8)", "color": "#111827", "label": "(0, -8)" }, { "id": "p2", "latex": "(2, 0)", "color": "#111827", "label": "(2, 0)" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 25, "bottom": -10, "top": 15 } } }

**b-1) (0.5 puntos) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? Justifique la respuesta.** Las pérdidas ocurren cuando el beneficio es negativo ($f(t) \lt 0$). La empresa deja de tener pérdidas cuando el beneficio es cero o positivo ($f(t) \ge 0$). Como hemos calculado anteriormente, el punto de corte con el eje de abscisas es $t = 2$, donde $f(2) = 0$. Dado que la función es **siempre creciente**, para cualquier valor $t > 2$, se cumplirá que $f(t) > 0$. Por tanto, la empresa deja de tener pérdidas a partir del **segundo año**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 2 \text{ (año 2)}}$$

**b-2) (0.5 puntos) A medida que pasan los años, ¿están limitados los beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite y por qué?** Para saber si los beneficios están limitados a largo plazo, calculamos el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito: $$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{12t - 24}{t+3} = 12$$ Esto significa que los beneficios están limitados superiormente por la asíntota horizontal de la función. Sí, están limitados y el límite es de **12 millones de euros**. Esto se justifica porque la función presenta una asíntota horizontal en $y=12$ para $t \to +\infty$. 💡 **Tip:** En problemas de contexto, el límite en el infinito representa el comportamiento de "estabilización" de la variable estudiada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, el límite es de 12 millones de euros}}$$