Probabilidad de extracciones sin reemplazamiento y teoremas fundamentales

En primer lugar, definimos los sucesos básicos según el color de la ficha extraída: - $V$: Ficha verde ($3$ fichas en total). - $A$: Ficha azul ($2$ fichas en total). - $R$: Ficha roja ($4$ fichas en total). El número total de fichas es $3 + 2 + 4 = 9$. Como las extracciones son **sin reemplazamiento**, la probabilidad de la segunda extracción dependerá de lo ocurrido en la primera (el denominador pasará de $9$ a $8$ y el numerador restará uno si se repite el color). Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidades: 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazamiento, recuerda que el número total de elementos disminuye para la segunda extracción.

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un jugador consiga el primer o el segundo premio.** Identificamos los sucesos ganadores según el enunciado: - **Primer premio ($P_1$):** Sacar dos azules ($AA$). - **Segundo premio ($P_2$):** Sacar dos verdes ($VV$). Calculamos la probabilidad de cada uno multiplicando las ramas del árbol: $$P(P_1) = P(A_1 \cap A_2) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{72}$$ $$P(P_2) = P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72}$$ Como son sucesos incompatibles (no pueden ocurrir a la vez), la probabilidad de ganar el primero **o** el segundo es la suma: $$P(P_1 \cup P_2) = P(P_1) + P(P_2) = \frac{2}{72} + \frac{6}{72} = \frac{8}{72}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $8$: $$\frac{8}{72} = \frac{1}{9} \approx 0.1111$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{1º o 2º premio}) = \frac{1}{9}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que un jugador gane el tercer premio.** El **tercer premio ($P_3$)** se obtiene si una ficha es azul y la otra es de un color diferente. Esto incluye los siguientes casos: 1. Primera azul y segunda verde ($AV$). 2. Primera azul y segunda roja ($AR$). 3. Primera verde y segunda azul ($VA$). 4. Primera roja y segunda azul ($RA$). Calculamos la probabilidad de cada combinación: - $P(AV) = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{72}$ - $P(AR) = \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{8}{72}$ - $P(VA) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72}$ - $P(RA) = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{8}{72}$ Sumamos todas las probabilidades: $$P(P_3) = \frac{6}{72} + \frac{8}{72} + \frac{6}{72} + \frac{8}{72} = \frac{28}{72}$$ Simplificamos dividiendo entre $4$: $$\frac{28}{72} = \frac{7}{18} \approx 0.3889$$ 💡 **Tip:** Otra forma más rápida es calcular $P(A \text{ en la 1ª}) \cdot P(A^c \text{ en la 2ª}) + P(A^c \text{ en la 1ª}) \cdot P(A \text{ en la 2ª})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P_3) = \frac{7}{18}}$$

**c) (1 punto) Sabiendo que un jugador ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya ganado el tercer premio?** Estamos ante una probabilidad condicionada. Sea $G$ el suceso "obtener algún premio". Este suceso es la unión del primer, segundo y tercer premio: $$P(G) = P(P_1) + P(P_2) + P(P_3)$$ Usando los valores obtenidos en los apartados anteriores (en fracciones de denominador $72$ para facilitar el cálculo): $$P(G) = \frac{8}{72} + \frac{28}{72} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$$ Nos piden la probabilidad de haber ganado el tercer premio condicionado a haber ganado algún premio: $P(P_3 | G)$. Aplicamos la fórmula: $$P(P_3 | G) = \frac{P(P_3 \cap G)}{P(G)}$$ Como el tercer premio está contenido en el suceso "ganar premio", $P(P_3 \cap G) = P(P_3)$: $$P(P_3 | G) = \frac{28/72}{36/72} = \frac{28}{36}$$ Simplificamos dividiendo entre $4$: $$\frac{28}{36} = \frac{7}{9} \approx 0.7778$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P_3 | \text{Premio}) = \frac{7}{9}}$$