Probabilidades, sucesos dependientes e independientes

**a) (0.5 puntos) $P(A \cup B)$** Antes de calcular la unión, necesitamos conocer la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.6 = \frac{P(A \cap B)}{0.3}$$ $$P(A \cap B) = 0.6 \cdot 0.3 = 0.18$$ Ahora, organizamos todos los datos en una **tabla de contingencia** para facilitar los cálculos de los siguientes apartados: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^c & \text{Total} \\\hline A & 0.18 & 0.42 & 0.60 \\ A^c & 0.12 & 0.28 & 0.40 \\\hline \text{Total} & 0.30 & 0.70 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las filas y columnas debe coincidir con los totales. Por ejemplo: $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.18 = 0.42$. Calculamos la unión mediante la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.6 + 0.3 - 0.18 = 0.72$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.72}$$

**b) (0.75 puntos) $P(A - B) + P(B - A)$** El suceso $A - B$ (también escrito como $A \cap B^c$) representa que ocurre $A$ pero no $B$. El suceso $B - A$ (también escrito como $B \cap A^c$) representa que ocurre $B$ pero no $A$. De nuestra tabla anterior, o aplicando las fórmulas de diferencia: - $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.18 = 0.42$ - $P(B - A) = P(B) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.18 = 0.12$ Realizamos la suma pedida: $$P(A - B) + P(B - A) = 0.42 + 0.12 = 0.54$$ 💡 **Tip:** Esta suma también se conoce como la probabilidad de la **diferencia simétrica**, que equivale a la unión menos la intersección: $P(A \cup B) - P(A \cap B) = 0.72 - 0.18 = 0.54$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A - B) + P(B - A) = 0.54}$$

**c) (0.75 puntos) $P(B/A^c)$** Calculamos la probabilidad de que ocurra $B$ sabiendo que no ha ocurrido $A$ (suceso complementario $A^c$). Aplicamos de nuevo la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(B/A^c) = \frac{P(B \cap A^c)}{P(A^c)}$$ Calculamos los componentes: - $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$ - $P(B \cap A^c) = P(B - A) = 0.12$ (calculado en el paso anterior) Sustituimos: $$P(B/A^c) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B/A^c) = 0.3}$$

**d) (0.5 puntos) Razone si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. ¿Son incompatibles?** **Independencia:** Dos sucesos son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ o, de forma equivalente, si $P(A/B) = P(A)$. - Sabemos por el enunciado que $P(A/B) = 0.6$. - Sabemos que $P(A) = 0.6$. Como $P(A/B) = P(A)$, los sucesos **son independientes**. También podemos comprobarlo con la intersección: $$P(A) \cdot P(B) = 0.6 \cdot 0.3 = 0.18$$ Como $P(A \cap B) = 0.18$, se confirma que son independientes. **Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, si $P(A \cap B) = 0$. - En este caso, $P(A \cap B) = 0.18$. Como $0.18 \neq 0$, los sucesos **no son incompatibles** (pueden ocurrir a la vez). 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos son independientes y tienen probabilidad distinta de cero, nunca pueden ser incompatibles. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Son independientes y no son incompatibles}}$$