Muestreo Estratificado y Distribución de Medias Muestrales

**a) (1 punto) Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados $25$ juveniles, $75$ adultos y $50$ seniors. Se quiere seleccionar una muestra de $30$ personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra?** En un muestreo estratificado con **afijación proporcional**, el número de individuos de cada estrato en la muestra debe ser proporcional al número de individuos de ese mismo estrato en la población total. Primero, sumamos el número total de personas matriculadas en el gimnasio ($N$): $$N = 25 \text{ (juveniles)} + 75 \text{ (adultos)} + 50 \text{ (seniors)} = 150$$ El tamaño de la muestra deseada es $n = 30$. 💡 **Tip:** La constante de proporcionalidad o cuota de muestreo se calcula como $k = \frac{n}{N}$. Esto nos indica qué fracción de la población total representará nuestra muestra.

Calculamos la cuota de muestreo: $$k = \frac{n}{N} = \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 0.2$$ Ahora multiplicamos el número de personas de cada grupo por esta cuota ($k$) para obtener el número de representantes en la muestra ($n_i$): - **Juveniles ($n_j$):** $25 \cdot 0.2 = 5$ - **Adultos ($n_a$):** $75 \cdot 0.2 = 15$ - **Seniors ($n_s$):** $50 \cdot 0.2 = 10$ Comprobamos que la suma sea correcta: $5 + 15 + 10 = 30$. ✅ **Resultado (Composición de la muestra):** $$\boxed{5 \text{ juveniles, } 15 \text{ adultos y } 10 \text{ seniors}}$$

**b) (1.5 puntos) Dada la población $\{9, 11, 13, 18, 20\}$, calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño $2$ obtenidas mediante muestreo aleatorio simple.** Para hallar la varianza de la distribución de las medias muestrales ($\sigma_{\bar{x}}^2$), primero necesitamos conocer la varianza de la población original ($\sigma^2$). Calculamos la media poblacional ($\mu$): $$\mu = \frac{\sum x_i}{N} = \frac{9 + 11 + 13 + 18 + 20}{5} = \frac{71}{5} = 14.2$$ 💡 **Tip:** La varianza de la distribución de las medias muestrales para un muestreo aleatorio simple (con reposición) sigue la fórmula $\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}$.

Utilizamos la fórmula de la varianza poblacional: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2$. Calculamos la suma de los cuadrados de los datos: $$\sum x_i^2 = 9^2 + 11^2 + 13^2 + 18^2 + 20^2 = 81 + 121 + 169 + 324 + 400 = 1095$$ Sustituimos en la fórmula de la varianza: $$\sigma^2 = \frac{1095}{5} - (14.2)^2 = 219 - 201.64 = 17.36$$ $$\boxed{\sigma^2 = 17.36}$$

La varianza de la distribución de las medias muestrales para muestras de tamaño $n=2$ se obtiene dividiendo la varianza poblacional entre el tamaño de la muestra: $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{17.36}{2} = 8.68$$ Si el enunciado se interpretase como muestreo sin reposición (aunque el término 'muestreo aleatorio simple' en Bachillerato suele implicar MAS con reposición), se aplicaría el factor de corrección de poblaciones finitas. No obstante, el estándar en PEvAU es aplicar la fórmula directa. ✅ **Resultado (Varianza de la distribución de medias):** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}}^2 = 8.68}$$