Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del $97\%$, para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del $64\%$?** Primero, extraemos los datos del enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Casas afectadas: $x = 325$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{325}{500} = 0.65$$ Por tanto, la proporción de casas no afectadas es $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 0.35$. 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre se calcula como el número de casos favorables dividido por el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor de $\alpha$ y $\alpha/2$: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, buscamos el valor de probabilidad $0.985$ en el interior de la tabla y observamos que corresponde a un valor de $z$ de **$2.17$**. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o haz una interpolación si el profesor lo requiere.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error de estimación $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{500}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.2275}{500}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.000455} \approx 2.17 \cdot 0.02133 = 0.0463$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0.65 - 0.0463 \, , \, 0.65 + 0.0463) = (0.6037 \, , \, 0.6963)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0.6037 \, , \, 0.6963)}$$

La pregunta nos pide si se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas es del $64\%$. Un porcentaje del $64\%$ equivale a una proporción de **$p = 0.64$**. Observamos si este valor pertenece al intervalo de confianza calculado en el paso anterior: $$0.64 \in (0.6037 \, , \, 0.6963)$$ Como el valor $0.64$ se encuentra dentro del intervalo de confianza con un nivel del $97\%$, podemos concluir que **sí es admisible** afirmar que el porcentaje de casas afectadas es del $64\%$. ✅ **Respuesta:** $$\boxed{\text{Sí es admisible ya que } 0.64 \text{ pertenece al intervalo.}}$$

**b) (1.25 puntos) Para un nivel de confianza del $92\%$ y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del $2\%$?** Nuevos datos: - Confianza: $1 - \alpha = 0.92 \implies \alpha = 0.08 \implies \alpha/2 = 0.04$ - Proporción mantenida: $\hat{p} = 0.65$, $\hat{q} = 0.35$ - Error máximo permitido: $E = 0.02$ (que es el $2\%$) Calculamos el nuevo $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$$ Buscando en la tabla de la Normal $N(0, 1)$, el valor más cercano a $0.96$ es $0.9599$, que corresponde a **$z_{\alpha/2} = 1.75$**. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.75}$$

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.75)^2 \cdot 0.65 \cdot 0.35}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{3.0625 \cdot 0.2275}{0.0004} = \frac{0.69671875}{0.0004} = 1741.79$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el error *máximo* (lo que implica que la muestra debe ser al menos de ese tamaño o mayor), redondeamos siempre al siguiente número entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea menor o igual al solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 1742 \text{ casas}}$$