Ecuación matricial y sistemas de ecuaciones con parámetros

**a.- (5 puntos) Determine el orden (dimensión) de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $ABX = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ esté bien planteada, siendo $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -12 & -8 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$. Calcule $X$.** Analizamos las dimensiones de las matrices involucradas: - La matriz $A$ tiene dimensiones $2 \times 3$. - La matriz $B$ tiene dimensiones $3 \times 2$. El producto $AB$ será de dimensión $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2) = 2 \times 2$. La ecuación matricial es $(AB)X = C$, donde $C = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ es una matriz de dimensión $2 \times 1$. Para que el producto $(AB)X$ sea posible y el resultado sea una matriz $2 \times 1$, la matriz $X$ debe tener tantas filas como columnas tiene $AB$ (es decir, 2) y tantas columnas como el resultado $C$ (es decir, 1). 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar dos matrices $M_{p \times q}$ y $N_{q \times r}$, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda, resultando una matriz de dimensión $p \times r$. ✅ **Resultado (dimensión):** $$\boxed{\text{La dimensión de } X \text{ es } 2 \times 1}$$

Calculamos el producto de las matrices $A$ y $B$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -12 & -8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - Elemento $(1,1): 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) + 1 \cdot 1 = 2 + 0 + 1 = 3$ - Elemento $(1,2): 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -1 + 0 + 6 = 5$ - Elemento $(2,1): (-12) \cdot 2 + (-8) \cdot (-3) + 1 \cdot 1 = -24 + 24 + 1 = 1$ - Elemento $(2,2): (-12) \cdot (-1) + (-8) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 12 - 16 + 6 = 2$ Obtenemos: $$\boxed{AB = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Tenemos la ecuación $(AB)X = C$. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $AB$: $$X = (AB)^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$$ Primero, comprobamos si $AB$ tiene inversa calculando su determinante: $$|AB| = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (5 \cdot 1) = 6 - 5 = 1$$ Como $|AB| \neq 0$, existe la inversa. Calculamos $(AB)^{-1}$: $$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)^t = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) + (-5)(-4) \\ -1(2) + 3(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 20 \\ -2 - 12 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 24 \\ -14 \end{pmatrix}}$$

**b.- (5 puntos) Determine el valor(es) del parámetro $m$ para que el sistema $(S)$ sea compatible y calcule la solución del mismo para $m = 3$.** El sistema dado es un sistema **homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero: $$ \begin{cases} 2x - 5y + 3z = 0 \\ x - y + z = 0 \\ 3x + my + z = 0 \end{cases} $$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible, ya que admite al menos la solución trivial $(0, 0, 0)$. Por tanto, el sistema será compatible para **cualquier valor de $m$**. No obstante, estudiamos su determinante para distinguir entre Compatible Determinado (solución única) y Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). $$ |A| = \begin{vmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & m & 1 \end{vmatrix} $$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [2 \cdot (-1) \cdot 1 + (-5) \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot m] - [3 \cdot (-1) \cdot 3 + 1 \cdot m \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot (-5)]$$ $$|A| = [-2 - 15 + 3m] - [-9 + 2m - 5]$$ $$|A| = -17 + 3m - (-14 + 2m) = -17 + 3m + 14 - 2m = m - 3$$ - Si $m - 3 \neq 0 \implies m \neq 3$, el $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 3 = \text{nº incógnitas}$. El sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. - Si $m - 3 = 0 \implies m = 3$, el $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. El sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es compatible para todo } m \in \mathbb{R}}$$

Para $m = 3$, el sistema es: $$ \begin{cases} 2x - 5y + 3z = 0 \\ x - y + z = 0 \\ 3x + 3y + z = 0 \end{cases} $$ Como sabemos que es SCI (rango < 3), eliminamos una ecuación que sea combinación lineal. Probamos con las dos primeras: 1) $2x - 5y + 3z = 0$ 2) $x - y + z = 0 \implies x = y - z$ Sustituimos $x$ en la primera: $$2(y - z) - 5y + 3z = 0 \implies 2y - 2z - 5y + 3z = 0 \implies -3y + z = 0 \implies z = 3y$$ Ahora expresamos $x$ en función de $y$: $$x = y - z = y - 3y = -2y$$ Si llamamos $y = \lambda$, las soluciones son: $$\begin{cases} x = -2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En sistemas SCI, siempre debemos dar la solución en función de uno o más parámetros (generalmente $\lambda$, $\mu$...). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (-2\lambda, \lambda, 3\lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$