Programación Lineal: Optimización de lotes navideños

**a.- (8 puntos) Plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita calcular el número de lotes de cada tipo que maximiza el ingreso obtenido. ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de lotes de tipo A. - $y$: número de lotes de tipo B. A continuación, organizamos la información de los recursos disponibles (jamones, vino y cava) para establecer las restricciones: - **Jamones:** Cada lote A usa 1 y cada lote B usa 1. Disponemos de 120. $$x + y \le 120$$ - **Vino:** Cada lote A usa 2 botellas y cada lote B usa 5. Disponemos de 390. $$2x + 5y \le 390$$ - **Cava:** El lote A no usa cava y el lote B usa 4 botellas. Disponemos de 240. $$4y \le 240 \implies y \le 60$$ - **No negatividad:** No se pueden producir cantidades negativas de lotes. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Es muy útil hacer una pequeña tabla para organizar los datos antes de escribir las inecuaciones.

El objetivo es maximizar el ingreso total. Sabemos que el ingreso por cada lote A es de 90 € y por cada lote B es de 180 €. La función objetivo $f(x, y)$ será: $$f(x, y) = 90x + 180y$$ Queremos encontrar los valores de $x$ e $y$ que maximicen esta función dentro de la región factible definida por las restricciones anteriores.

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones: 1. $r_1: x + y = 120$ (Pasa por $(0, 120)$ y $(120, 0)$) 2. $r_2: 2x + 5y = 390$ (Pasa por $(0, 78)$ y $(195, 0)$) 3. $r_3: y = 60$ (Recta horizontal) La intersección de los semiplanos definidos por las inecuaciones nos da un polígono convexo. Los vértices de esta región son los puntos donde se pueden encontrar los valores óptimos.

Calculamos los puntos de corte para identificar los vértices de la región factible: - **A** (Origen): $(0, 0)$ - **B** (Eje X): Intersección de $y=0$ con $x+y=120$. Es el punto $(120, 0)$. - **C** (Intersección $r_1$ y $r_2$): $$\begin{cases} x + y = 120 \\ 2x + 5y = 390 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-2$: $-2x - 2y = -240$. Sumamos: $3y = 150 \implies y = 50$. Sustituyendo: $x + 50 = 120 \implies x = 70$. El punto es **$(70, 50)$**. - **D** (Intersección $r_2$ y $r_3$): $$\begin{cases} y = 60 \\ 2x + 5y = 390 \end{cases} \implies 2x + 300 = 390 \implies 2x = 90 \implies x = 45$$ El punto es **$(45, 60)$**. - **E** (Eje Y): Intersección de $x=0$ con $y=60$. Es el punto **$(0, 60)$**. 💡 **Tip:** Siempre verifica que los puntos obtenidos cumplan todas las restricciones (por ejemplo, que el punto C no supere el límite de cava $y \le 60$).

Evaluamos $f(x, y) = 90x + 180y$ en cada vértice: - $f(0, 0) = 90(0) + 180(0) = 0$ € - $f(120, 0) = 90(120) + 180(0) = 10.800$ € - $f(70, 50) = 90(70) + 180(50) = 6.300 + 9.000 = 15.300$ € - $f(45, 60) = 90(45) + 180(60) = 4.050 + 10.800 = 14.850$ € - $f(0, 60) = 90(0) + 180(60) = 10.800$ € El valor máximo se alcanza en el punto $(70, 50)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben producir 70 lotes A y 50 lotes B. El ingreso máximo es de 15.300 €.}}$$

**b.- (2 puntos) En la solución óptima, ¿se agotan todas las existencias de jamones, botellas de vino y botellas de cava? Razone la respuesta.** Sustituimos la solución óptima $(x=70, y=50)$ en las expresiones de consumo de cada producto: - **Jamones:** $x + y = 70 + 50 = 120$. Teníamos 120. **Se agotan todos**. - **Botellas de vino:** $2x + 5y = 2(70) + 5(50) = 140 + 250 = 390$. Teníamos 390. **Se agotan todas**. - **Botellas de cava:** $4y = 4(50) = 200$. Teníamos 240. $$240 - 200 = 40 \text{ botellas sobrantes}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se agotan los jamones y el vino, pero sobran 40 botellas de cava.}}$$