Estudio de una población: límites, crecimiento y extremos

**a.- (2 puntos) Calcule el tamaño de la población en un horizonte infinito de tiempo.** Para calcular la población en un "horizonte infinito", debemos hallar el límite de la función $P(t)$ cuando $t$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} 1.000 \left( 15 + \frac{t}{100 + t^2} \right)$$ Como el límite de una suma es la suma de los límites: $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = 1.000 \left( 15 + \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{100 + t^2} \right)$$ En la fracción $\frac{t}{100 + t^2}$, el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$). Por tanto, el límite de esa fracción cuando $t \to \infty$ es $0$. $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = 1.000 (15 + 0) = 15.000$$ 💡 **Tip:** Cuando calculamos el límite de una función racional en el infinito, si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es siempre 0. ✅ **Resultado:** $$\boxed{15.000 \text{ habitantes}}$$

**b.- (5 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la población. ¿En qué momento la población es máxima? y ¿cuántos habitantes tiene la población en ese momento?** Para estudiar el crecimiento, calculamos la derivada $P'(t)$. Primero, reescribimos $P(t)$ para facilitar la derivación: $$P(t) = 15.000 + \frac{1.000t}{100 + t^2}$$ Derivamos usando la regla del cociente para el segundo término: $$P'(t) = 0 + 1.000 \cdot \frac{1 \cdot (100 + t^2) - t \cdot (2t)}{(100 + t^2)^2}$$ $$P'(t) = 1.000 \cdot \frac{100 + t^2 - 2t^2}{(100 + t^2)^2} = \frac{1.000(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$P'(t) = 0 \implies 1.000(100 - t^2) = 0 \implies 100 - t^2 = 0 \implies t^2 = 100$$ Esto nos da $t = 10$ y $t = -10$. Dado que $t$ representa el tiempo en años desde el 2.000, solo consideramos el valor positivo **$t = 10$** (año 2010). Analizamos el signo de $P'(t)$ en el dominio $[0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 10) & 10 & (10, +\infty)\\ \hline P'(t) & + & 0 & -\\ \hline \text{Comportamiento} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ Justificación del signo: - Para $t \in (0, 10)$, por ejemplo $t=1$, $P'(1) = \frac{1000(99)}{(101)^2} \gt 0$. - Para $t \in (10, +\infty)$, por ejemplo $t=20$, $P'(20) = \frac{1000(100-400)}{(100+400)^2} \lt 0$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 10) \text{ y decreciente en } (10, +\infty)}$$

Como hemos visto, la población alcanza su **máximo en $t = 10$** (es decir, en el año 2010). Para calcular el número de habitantes en ese momento, evaluamos $P(10)$: $$P(10) = 1.000 \left( 15 + \frac{10}{100 + 10^2} \right) = 1.000 \left( 15 + \frac{10}{200} \right)$$ $$P(10) = 1.000 \left( 15 + 0,05 \right) = 1.000 \cdot 15,05 = 15.050$$ ✅ **Resultado (Máximo):** $$\boxed{\text{Máximo en } t = 10 \text{ años con } 15.050 \text{ habitantes}}$$

**c.- (3 puntos) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para obtener una población de 15.040 individuos?** Igualamos la función al valor dado y resolvemos para $t$: $$1.000 \left( 15 + \frac{t}{100 + t^2} \right) = 15.040$$ Dividimos ambos miembros por $1.000$: $$15 + \frac{t}{100 + t^2} = 15,04$$ Restamos 15 en ambos lados: $$\frac{t}{100 + t^2} = 0,04$$ Pasamos el denominador multiplicando: $$t = 0,04(100 + t^2) \implies t = 4 + 0,04t^2$$ Reordenamos para obtener una ecuación de segundo grado: $$0,04t^2 - t + 4 = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $25$ para trabajar con números enteros ($0,04 \cdot 25 = 1$): $$t^2 - 25t + 100 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$t = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{2}$$ $$t = \frac{25 \pm 15}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $t_1 = \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20$ 2. $t_2 = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$ Ambas soluciones son válidas ya que son positivas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tiene que pasar } 5 \text{ años o } 20 \text{ años}}$$