Límites, continuidad con parámetros e integración

**a.- (3 puntos) Calcule $\lim_{x \to 1} h(x)$.** Primero, evaluamos la función $h(x)$ en el punto $x = 1$ para ver si existe una indeterminación: $$h(1) = \frac{1^2 + 1 - 2}{1^2 - 1} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente: Derivada del numerador: $(x^2 + x - 2)' = 2x + 1$ Derivada del denominador: $(x^2 - x)' = 2x - 1$ Calculamos ahora el límite de la nueva fracción: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{2x + 1}{2x - 1} = \frac{2(1) + 1}{2(1) - 1} = \frac{3}{1} = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital solo se puede aplicar cuando el límite presenta formas indeterminadas como $0/0$ o $\infty/\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 1} h(x) = 3}$$

**b.- (4 puntos) Determine el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que $$ f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{si } x \leq 1 \\ h(x) & \text{si } x > 1 \end{cases} $$ sea continua en $x = 1$.** Para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 1$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista $f(1)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. 3. Que $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$. En la práctica, esto implica que los límites laterales en el punto de salto deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en ese punto: **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** Usamos la rama $g(x)$: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} a \left( 1 - \frac{1}{2}x \right)^3 = a \left( 1 - \frac{1}{2}(1) \right)^3 = a \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{a}{8}$$ Como $x \le 1$ incluye el igual, $f(1) = \frac{a}{8}$. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** Usamos la rama $h(x)$ (resultado obtenido en el apartado anterior): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} h(x) = 3$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la continuidad en un punto exige que no haya "salto" entre las ramas, es decir, que ambas partes se encuentren en el mismo valor de $y$.

Igualamos ambos límites laterales para garantizar la continuidad en $x = 1$: $$\frac{a}{8} = 3$$ Despejamos el parámetro $a$: $$a = 3 \cdot 8 = 24$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 24}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "a_val", "latex": "a=24" }, { "id": "f", "latex": "f(x)=\\left\\{x\\le 1: a(1-0.5x)^3, x>1: (x^2+x-2)/(x^2-x)\\right\\}", "color": "#2563eb" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 4, "bottom": -1, "top": 5 } } }

**c.- (3 puntos) Calcule $\int_{0}^{2} (1 - 2x)^3 dx$.** Identificamos que se trata de una integral de una función polinómica compuesta, similar a la forma $\int f'(x) \cdot [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. En nuestro caso, la función interna es $u = 1 - 2x$, cuya derivada es $u' = -2$. Ajustamos la integral multiplicando y dividiendo por $-2$: $$\int (1 - 2x)^3 dx = -\frac{1}{2} \int -2(1 - 2x)^3 dx = -\frac{1}{2} \frac{(1 - 2x)^4}{4} = -\frac{(1 - 2x)^4}{8}$$ Ahora aplicamos la **regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $0$ y $2$: $$\int_{0}^{2} (1 - 2x)^3 dx = \left[ -\frac{(1 - 2x)^4}{8} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = -\frac{(1 - 2(2))^4}{8} = -\frac{(1 - 4)^4}{8} = -\frac{(-3)^4}{8} = -\frac{81}{8}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = -\frac{(1 - 2(0))^4}{8} = -\frac{1^4}{8} = -\frac{1}{8}$$ Restamos ambos valores: $$\int_{0}^{2} (1 - 2x)^3 dx = F(2) - F(0) = -\frac{81}{8} - \left( -\frac{1}{8} \right) = -\frac{81}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{80}{8} = -10$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos negativos al aplicar la regla de Barrow: $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{-10}$$