Probabilidad total y Teorema de Bayes: Grupos de Economía

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales: - $G_1$: El estudiante pertenece al grupo 1. - $G_2$: El estudiante pertenece al grupo 2. - $G_3$: El estudiante pertenece al grupo 3. - $S$: El estudiante supera la asignatura. - $\bar{S}$: El estudiante no supera la asignatura. A partir del enunciado, extraemos las probabilidades: - $P(G_1) = 0.40$ - $P(G_2) = 0.35$ - $P(G_3) = 0.25$ Las probabilidades condicionadas (tasas de éxito) son: - $P(S|G_1) = 0.80 \implies P(\bar{S}|G_1) = 0.20$ - $P(S|G_2) = 0.60 \implies P(\bar{S}|G_2) = 0.40$ - $P(S|G_3) = 0.92 \implies P(\bar{S}|G_3) = 0.08$ Representamos la situación en un **diagrama de árbol**: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$ (por ejemplo, $0.40 + 0.35 + 0.25 = 1$).

**a.- (2 puntos) Haya superado la asignatura y sea del grupo G3.** Buscamos la probabilidad de la intersección $P(S \cap G_3)$. En un diagrama de árbol, esto corresponde a seguir la rama del grupo $G_3$ y luego la de superar ($S$): $$P(S \cap G_3) = P(G_3) \cdot P(S|G_3)$$ Sustituimos los valores: $$P(S \cap G_3) = 0.25 \cdot 0.92 = 0.23$$ 💡 **Tip:** El término "y" en probabilidad suele indicar una intersección, que se calcula multiplicando las probabilidades a lo largo de la rama. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \cap G_3) = 0.23}$$

**b.- (2 puntos) No haya superado la asignatura.** Para calcular la probabilidad de no superar la asignatura $P(\bar{S})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando todas las ramas que terminan en $\bar{S}$: $$P(\bar{S}) = P(G_1) \cdot P(\bar{S}|G_1) + P(G_2) \cdot P(\bar{S}|G_2) + P(G_3) \cdot P(\bar{S}|G_3)$$ Calculamos cada término: - Por $G_1$: $0.40 \cdot 0.20 = 0.08$ - Por $G_2$: $0.35 \cdot 0.40 = 0.14$ - Por $G_3$: $0.25 \cdot 0.08 = 0.02$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{S}) = 0.08 + 0.14 + 0.02 = 0.24$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S}) = 0.24}$$

**c.- (2 puntos) Haya superado la asignatura.** Como ya hemos calculado la probabilidad de no superar ($P(\bar{S})$) en el apartado anterior, podemos hallar la probabilidad de superar ($P(S)$) utilizando el suceso contrario: $$P(S) = 1 - P(\bar{S})$$ Sustituimos el valor hallado: $$P(S) = 1 - 0.24 = 0.76$$ También podríamos haberlo calculado sumando las ramas de éxito: $$P(S) = 0.40 \cdot 0.80 + 0.35 \cdot 0.60 + 0.25 \cdot 0.92 = 0.32 + 0.21 + 0.23 = 0.76$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.76}$$

**d.- (2 puntos) Ni haya superado la asignatura ni sea del grupo G1.** Este suceso se traduce como $P(\bar{S} \cap \bar{G_1})$. Si el estudiante no es del grupo $G_1$, obligatoriamente debe ser del grupo $G_2$ o del grupo $G_3$ (ya que son sucesos incompatibles que forman el espacio muestral). Por tanto, buscamos la probabilidad de no superar estando en el grupo 2 o en el grupo 3: $$P(\bar{S} \cap \bar{G_1}) = P(G_2 \cap \bar{S}) + P(G_3 \cap \bar{S})$$ Utilizamos los valores calculados en el apartado (b): - $P(G_2 \cap \bar{S}) = 0.35 \cdot 0.40 = 0.14$ - $P(G_3 \cap \bar{S}) = 0.25 \cdot 0.08 = 0.02$ Sumamos: $$P(\bar{S} \cap \bar{G_1}) = 0.14 + 0.02 = 0.16$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S} \cap \bar{G_1}) = 0.16}$$

**e.- (2 puntos) Si el estudiante elegido al azar ha superado la asignatura, calcule la probabilidad de ser del grupo G3.** Se nos pide calcular la probabilidad de que pertenezca a $G_3$ sabiendo que ya ha superado la asignatura ($S$). Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(G_3 | S) = \frac{P(G_3 \cap S)}{P(S)}$$ Utilizamos los datos obtenidos en los apartados (a) y (c): - $P(G_3 \cap S) = 0.23$ - $P(S) = 0.76$ Calculamos la división: $$P(G_3 | S) = \frac{0.23}{0.76} = \frac{23}{76} \approx 0.3026$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (grupo) dado un "efecto" (superar la asignatura). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G_3 | S) = \frac{23}{76} \approx 0.3026}$$