Inferencia estadística: Intervalos de confianza y tamaño muestral

**a.- (4 puntos) Para una muestra aleatoria de 64 hogares, el tiempo medio semanal dedicado a las tareas del hogar es de 10 horas. Determine un intervalo de confianza al 95% para la media de horas dedicadas semanalmente a las tareas del hogar.** Primero, extraemos los datos del enunciado para la variable $X$ (tiempo dedicado a tareas del hogar), que sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$. - Tamaño de la muestra: $n = 64$. - Media muestral: $\bar{x} = 10$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95%: 1. $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$. 2. $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,9750$. Mirando la tabla, encontramos que para una probabilidad de $0,9750$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son 1,645 (90%), 1,96 (95%) y 2,575 (99%).

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{2}{\sqrt{64}} = 1,96 \cdot \frac{2}{8} = 1,96 \cdot 0,25 = 0,49$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando el error a la media muestral: - Límite inferior: $10 - 0,49 = 9,51$ - Límite superior: $10 + 0,49 = 10,49$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (9,51; 10,49)}$$

**b.- (4 puntos) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al estimar la media de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo de 0,75 horas, con un nivel de confianza del 95%.** Datos para este apartado: - Desviación típica: $\sigma = 2$. - Error máximo permitido: $E \le 0,75$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95 \implies z_{\alpha/2} = 1,96$. La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos despejar $n$ de la desigualdad $z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le E$: $$\sqrt{n} \ge \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n \ge \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

Sustituimos los valores conocidos: $$n \ge \left( \frac{1,96 \cdot 2}{0,75} \right)^2$$ $$n \ge \left( \frac{3,92}{0,75} \right)^2$$ $$n \ge (5,2266...)^2$$ $$n \ge 27,3184$$ Como el tamaño muestral $n$ debe ser un número entero, y buscamos que el error sea *como máximo* 0,75 (a mayor $n$, menor error), debemos redondear siempre al alza. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral mínimo, aunque el decimal sea bajo (ej. 27,1), siempre redondeamos al siguiente número entero para garantizar que el error no supere el límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 28 \text{ hogares}}$$

**c.- (2 puntos) A partir de una muestra de 81 hogares se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza (9,8444; 10,7555) para la media de la población. Determine el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.** Datos proporcionados: - $n = 81$. - $\sigma = 2$. - $IC = (9,8444; 10,7555)$. Sabemos que la amplitud del intervalo ($A$) es igual a dos veces el error ($2E$): $$A = 10,7555 - 9,8444 = 0,9111$$ $$E = \frac{0,9111}{2} = 0,45555$$ También podemos obtenerlo hallando primero la media del intervalo: $$\bar{x} = \frac{9,8444 + 10,7555}{2} = 10,29995 \approx 10,3$$ $$E = 10,7555 - 10,3 = 0,45555$$

Utilizamos la fórmula del error para despejar el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 0,45555 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{2}{\sqrt{81}}$$ $$0,45555 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{2}{9}$$ $$z_{\alpha/2} = \frac{0,45555 \cdot 9}{2} = \frac{4,09995}{2} = 2,049975 \approx 2,05$$ Ahora buscamos la probabilidad asociada a $z = 2,05$ en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 2,05) = 0,9798$$ Este valor es igual a $1 - \alpha/2$: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9798 \implies \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9798 = 0,0202$$ $$\alpha = 0,0202 \cdot 2 = 0,0404$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - \alpha = 1 - 0,0404 = 0,9596$$ Expresado en porcentaje, es el $95,96\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 95,96\%}$$