Ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones lineales

**a.- (5 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ y la ecuación matricial $XB + A = C$, determine razonadamente el orden (dimensión) de la matriz $X$ para que la ecuación matricial esté bien planteada. Despeje la matriz $X$ y resuelva dicha ecuación matricial.** Analizamos las dimensiones de las matrices involucradas: - $A$ es una matriz de $2 \times 3$. - $B$ es una matriz de $3 \times 3$. - $C$ es una matriz de $2 \times 3$. En la ecuación $XB + A = C$, podemos reescribirla como $XB = C - A$. Para que la resta $C - A$ sea posible, ambas deben tener la misma dimensión, lo cual se cumple ($2 \times 3$). Por tanto, la matriz resultante $XB$ debe tener dimensión $2 \times 3$. Si $X$ tiene dimensión $m \times n$: 1. Para que el producto $XB$ sea posible, el número de columnas de $X$ ($n$) debe ser igual al número de filas de $B$ (3). Así que $n = 3$. 2. La dimensión del resultado $XB$ será $m \times 3$. Como sabemos que el resultado debe ser $2 \times 3$, entonces $m = 2$. 💡 **Tip:** Recuerda que si multiplicas una matriz $(m \times n)$ por una $(n \times p)$, el resultado es una matriz $(m \times p)$. ✅ **Resultado (dimensión):** $$\boxed{X \text{ es una matriz de orden } 2 \times 3}$$

Para despejar $X$ de la ecuación $XB + A = C$, seguimos estos pasos: 1. Restamos la matriz $A$ en ambos lados: $$XB = C - A$$ 2. Para aislar $X$, multiplicamos por la inversa de $B$ ($B^{-1}$) **por la derecha** en ambos miembros de la ecuación: $$X B B^{-1} = (C - A) B^{-1}$$ $$X I = (C - A) B^{-1}$$ $$X = (C - A) B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por la inversa en un lado por la derecha, debes hacerlo también en el otro lado por la derecha ($A \cdot B \neq B \cdot A$).

Primero calculamos la diferencia $C - A$: $$C - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) & 0 - 0 & 2 - 1 \\ 4 - 5 & -1 - (-1) & 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $B^{-1}$. Primero hallamos el determinante de $B$ mediante la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 0 + 0) - (0 + 1 + 0) = -1$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz $B$ es invertible. Calculamos la matriz adjunta traspuesta: Matriz de cofactores $\text{Adj}(B)$: $B_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1; \quad B_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$ $B_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; \quad B_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $B_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2; \quad B_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1; \quad B_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -5$ $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} [\text{Adj}(B)]^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = (C - A) \cdot B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: - $x_{11} = 3(1) + 0(0) + 1(-2) = 1$ - $x_{12} = 3(0) + 0(0) + 1(1) = 1$ - $x_{13} = 3(-2) + 0(1) + 1(5) = -1$ - Fila 2: - $x_{21} = -1(1) + 0(0) + 2(-2) = -5$ - $x_{22} = -1(0) + 0(0) + 2(1) = 2$ - $x_{23} = -1(-2) + 0(1) + 2(5) = 12$ ✅ **Resultado final (apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -5 & 2 & 12 \end{pmatrix}}$$

**b.- (5 puntos) Calcule, utilizando técnicas matriciales, la solución del sistema de ecuaciones lineales:** **$$ \begin{cases} 2x - 5y + 3z = 1 \\ x - y + z = 1 \\ 3x + 3y + z = 5 \end{cases} $$** Escribimos el sistema en forma matricial $M \cdot X = D$: $$\begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = [2(-1) + (-5)(1)(3) + (3)(1)(3)] - [3(-1)(3) + 3(1)(2) + 1(1)(-5)]$$ $$|M| = [-2 - 15 + 9] - [-9 + 6 - 5] = [-8] - [-8] = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz principal es cero, el sistema no tiene solución única (no es Compatible Determinado). Debemos aplicar el Teorema de Rouché-Capelli.

Como $|M| = 0$, el $\text{rg}(M) < 3$. Observamos el menor $\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 + 5 = 3 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(M) = 2$. Estudiamos el rango de la matriz ampliada $M^*$ orlando el menor anterior con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -5 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 3 & 5 \end{vmatrix} = [2(-5) + (-5)(1)(3) + 1(1)(3)] - [3(-1)(1) + 3(1)(2) + 5(1)(-5)] = [-10 - 15 + 3] - [-3 + 6 - 25]$$ $$ = [-22] - [-22] = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas). El sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). Para resolverlo, eliminamos la tercera ecuación (ya que el rango es 2) y tomamos $z = \lambda$ como parámetro: $$ \begin{cases} 2x - 5y = 1 - 3\lambda \\ x - y = 1 - \lambda \end{cases} $$ De la segunda ecuación: $x = 1 - \lambda + y$. Sustituimos en la primera: $$2(1 - \lambda + y) - 5y = 1 - 3\lambda \implies 2 - 2\lambda + 2y - 5y = 1 - 3\lambda$$ $$-3y = 1 - 3\lambda - 2 + 2\lambda \implies -3y = -1 - \lambda \implies y = \frac{1 + \lambda}{3}$$ Ahora hallamos $x$: $$x = 1 - \lambda + \frac{1 + \lambda}{3} = \frac{3 - 3\lambda + 1 + \lambda}{3} = \frac{4 - 2\lambda}{3}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{x = \frac{4 - 2\lambda}{3}, \quad y = \frac{1 + \lambda}{3}, \quad z = \lambda \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$