Optimización del gasto en fertilización

**¿Cuál es el gasto mínimo que tiene que hacer Emilia y qué debe comprar para satisfacer las necesidades nutricionales de los cultivos?** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de sacos de fertilizante de la marca A. - $y$: número de sacos de fertilizante de la marca B. El objetivo es minimizar el coste total de la compra. Como el saco A cuesta $4\ €$ y el B cuesta $6\ €$, la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 4x + 6y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre identifica primero qué quieres decidir (variables) y qué quieres maximizar o minimizar (función objetivo).

Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones: 1. **Máximo de sacos:** No puede comprar más de 100 sacos en total. $$x + y \le 100$$ 2. **Nitrógeno:** Necesita al menos 180 unidades ($3$ de A y $2$ de B). $$3x + 2y \ge 180$$ 3. **Fósforo:** Necesita al menos 200 unidades ($5$ de A y $2$ de B). $$5x + 2y \ge 200$$ 4. **Potasio:** Necesita al menos 80 unidades ($1$ de A y $2$ de B). $$x + 2y \ge 80$$ 5. **No negatividad:** El número de sacos no puede ser negativo. $$x \ge 0, y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Las palabras "como máximo" indican $\le$, mientras que "al menos" indican $\ge$.

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción: - $r_1: x + y = 100 \implies (0, 100), (100, 0)$ - $r_2: 3x + 2y = 180 \implies (0, 90), (60, 0)$ - $r_3: 5x + 2y = 200 \implies (0, 100), (40, 0)$ - $r_4: x + 2y = 80 \implies (0, 40), (80, 0)$ La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las inecuaciones simultáneamente.

Los vértices se obtienen mediante la intersección de las rectas que delimitan la región factible: - **Vértice A:** Intersección de $x=0$ y $r_1$ ($x+y=100$). $x=0 \implies y=100 \implies \mathbf{A(0, 100)}$ - **Vértice B:** Intersección de $r_2$ y $r_3$. $$\begin{cases} 3x + 2y = 180 \\ 5x + 2y = 200 \end{cases} \implies 2x = 20 \implies x=10, y=75 \implies \mathbf{B(10, 75)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $r_2$ y $r_4$. $$\begin{cases} 3x + 2y = 180 \\ x + 2y = 80 \end{cases} \implies 2x = 100 \implies x=50, y=15 \implies \mathbf{C(50, 15)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $r_4$ y $y=0$. $y=0 \implies x=80 \implies \mathbf{D(80, 0)}$ - **Vértice E:** Intersección de $r_1$ y $y=0$. $y=0 \implies x=100 \implies \mathbf{E(100, 0)}$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de dos rectas, resuelve el sistema de ecuaciones lineales por reducción, igualación o sustitución.

Calculamos el coste $f(x, y) = 4x + 6y$ en cada vértice para encontrar el mínimo: - $f(0, 100) = 4(0) + 6(100) = 600\ €$ - $f(10, 75) = 4(10) + 6(75) = 40 + 450 = 490\ €$ - $f(50, 15) = 4(50) + 6(15) = 200 + 90 = \mathbf{290\ €}$ - $f(80, 0) = 4(80) + 6(0) = 320\ €$ - $f(100, 0) = 4(100) + 6(0) = 400\ €$ El valor mínimo se alcanza en el punto $(50, 15)$ con un coste de $290\ €$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Gasto mínimo: } 290\ € \text{ comprando } 50 \text{ sacos de A y } 15 \text{ sacos de B.}}$$