Optimización de beneficios y costes de fabricación

**a.- (5 puntos) Si cada producto se vende a 400 euros, plantee la función beneficio (ingresos menos costes) en función del número de unidades producidas y vendidas. Determine el número de unidades del producto que deben venderse para que el beneficio sea máximo (justificando que lo es). ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?** El beneficio $B(x)$ se define como la diferencia entre los ingresos totales $I(x)$ y los costes totales $C(x)$: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ 1. Calculamos los ingresos: si cada unidad se vende a $400$ euros, el ingreso por vender $x$ unidades es: $$I(x) = 400x$$ 2. Sustituimos los ingresos y el coste dado en el enunciado: $$B(x) = 400x - (x^2 + 80x + 10.000)$$ $$B(x) = 400x - x^2 - 80x - 10.000$$ Simplificando la expresión, obtenemos la función beneficio: $$\boxed{B(x) = -x^2 + 320x - 10.000}$$

Para hallar el máximo de la función beneficio, derivamos $B(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$B'(x) = -2x + 320$$ Igualamos a cero: $$-2x + 320 = 0 \implies 2x = 320 \implies x = \frac{320}{2} = 160$$ Para justificar que en $x = 160$ existe un máximo, estudiamos el signo de la primera derivada en los intervalos alrededor del punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 160) & 160 & (160, +\infty)\\ \hline B'(x) & + & 0 & -\\ \hline B(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ Como la función pasa de crecer a decrecer en $x=160$, confirmamos que es un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** También podrías usar el criterio de la segunda derivada: $B''(x) = -2$. Como $B''(160) = -2 \lt 0$, se trata de un máximo. $$\boxed{x = 160 \text{ unidades}}$$

Para conocer a cuánto asciende el beneficio máximo, sustituimos el valor $x = 160$ en la función $B(x)$: $$B(160) = -(160)^2 + 320(160) - 10.000$$ $$B(160) = -25.600 + 51.200 - 10.000$$ $$B(160) = 25.600 - 10.000 = 15.600$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio máximo es de } 15.600 \text{ euros}}$$

**b.- (5 puntos) ¿En qué nivel de producción se minimiza el coste medio por unidad $CM(x) = \frac{C(x)}{x}$?** Primero definimos la función del coste medio dividiendo el coste total por el número de unidades $x$: $$CM(x) = \frac{x^2 + 80x + 10.000}{x}$$ Para facilitar la derivación, podemos descomponer la fracción: $$CM(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{80x}{x} + \frac{10.000}{x} = x + 80 + \frac{10.000}{x}$$ 💡 **Tip:** Escribir la función como suma de términos independientes suele ser más rápido de derivar que usar la regla del cociente. $$\boxed{CM(x) = x + 80 + 10.000x^{-1}}$$

Calculamos la derivada de $CM(x)$ e igualamos a cero: $$CM'(x) = 1 + 0 - 10.000x^{-2} = 1 - \frac{10.000}{x^2}$$ Igualamos a cero: $$1 - \frac{10.000}{x^2} = 0 \implies 1 = \frac{10.000}{x^2} \implies x^2 = 10.000$$ Calculamos la raíz cuadrada (tomamos solo el valor positivo ya que $x$ representa unidades producidas): $$x = \sqrt{10.000} = 100$$ Justificamos que es un mínimo estudiando el signo de $CM'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 100) & 100 & (100, +\infty)\\ \hline CM'(x) & - & 0 & +\\ \hline CM(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El coste medio se minimiza produciendo } 100 \text{ unidades}}$$