Análisis de una función con parámetros: Extremos e Integrales

**a.- (6 puntos) Determine el valor del parámetro $m$ para que la función tenga un extremo relativo en $x = -1$. Razone si se trata de un máximo o un mínimo relativo.** Para que la función tenga un extremo relativo en $x = -1$, la primera derivada evaluada en ese punto debe ser igual a cero ($f'(-1) = 0$). Primero, simplificamos la expresión de la función para derivar más fácilmente: $$f(x) = \frac{mx^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} = mx - x^{-2}$$ Ahora calculamos la derivada $f'(x)$: $$f'(x) = (mx)' - (x^{-2})' = m - (-2)x^{-3} = m + \frac{2}{x^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista un extremo relativo en un punto $a$ del dominio donde la función es derivable, se debe cumplir la condición necesaria $f'(a) = 0$.

Aplicamos la condición de extremo relativo en $x = -1$: $$f'(-1) = 0 \implies m + \frac{2}{(-1)^3} = 0$$ $$m + \frac{2}{-1} = 0$$ $$m - 2 = 0 \implies m = 2$$ ✅ **Resultado (parámetro m):** $$\boxed{m = 2}$$ Con este valor, la función es $f(x) = \frac{2x^3 - 1}{x^2}$ y su derivada es $f'(x) = 2 + \frac{2}{x^3} = \frac{2x^3 + 2}{x^3}$.

Para razonar si se trata de un máximo o un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada alrededor de $x = -1$ o usamos la segunda derivada. Calculamos $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = 2 + 2x^{-3}$: $$f''(x) = (2)' + (2x^{-3})' = 0 + 2(-3)x^{-4} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$$ Evaluamos la segunda derivada en $x = -1$: $$f''(-1) = -\frac{6}{(-1)^4} = -\frac{6}{1} = -6$$ Como $f''(-1) \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en ese punto. También podemos observar el cambio de signo de $f'(x) = \frac{2(x^3+1)}{x^3}$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0)\\ \hline 2(x^3+1) & - & 0 & +\\ x^3 & - & - & -\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array} $$ Como la función pasa de crecer ($f' \gt 0$) a decrecer ($f' \lt 0$), confirmamos que es un máximo. ✅ **Resultado (razonamiento):** $$\boxed{\text{Se trata de un máximo relativo en } x = -1}$$

**b.- (4 puntos) Calcule el valor de $m$ para que $\int_{1}^{2} f(x) dx = 4$.** Planteamos la integral de la función $f(x) = mx - \frac{1}{x^2}$: $$\int_{1}^{2} (mx - x^{-2}) dx = 4$$ Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (mx - x^{-2}) dx = m \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{mx^2}{2} + \frac{1}{x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla básica de integración: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$.

Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $x=1$ y $x=2$: $$\left[ \frac{mx^2}{2} + \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = 4$$ $$\left( \frac{m(2)^2}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{m(1)^2}{2} + \frac{1}{1} \right) = 4$$ $$(2m + 0.5) - (0.5m + 1) = 4$$ $$2m - 0.5m + 0.5 - 1 = 4$$ $$1.5m - 0.5 = 4$$ Despejamos $m$: $$1.5m = 4.5$$ $$m = \frac{4.5}{1.5} = 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{m = 3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.