Probabilidad total y propiedades de sucesos

**a.- (6 puntos) La probabilidad de que un autobús escolar llegue con retraso en un día nublado es de 0,08 y en un día despejado 0,004. Durante un periodo de 20 días ha habido 8 días nublados y 12 días despejados. Para un día elegido al azar, ¿cuál será la probabilidad de que el autobús llegue con retraso?** Primero, definimos los sucesos del experimento: - $N$: El día está nublado. - $D$: El día está despejado. - $R$: El autobús llega con retraso. - $\bar{R}$: El autobús no llega con retraso. Calculamos las probabilidades de que el día sea nublado o despejado basándonos en los datos del periodo de 20 días: - $P(N) = \dfrac{8}{20} = 0,4$ - $P(D) = \dfrac{12}{20} = 0,6$ Las probabilidades condicionadas dadas por el enunciado son: - $P(R|N) = 0,08$ - $P(R|D) = 0,004$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

Para hallar la probabilidad de que el autobús llegue con retraso, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(R) = P(N) \cdot P(R|N) + P(D) \cdot P(R|D)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(R) = 0,4 \cdot 0,08 + 0,6 \cdot 0,004$$ $$P(R) = 0,032 + 0,0024$$ $$P(R) = 0,0344$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (retraso) puede ocurrir a través de varios caminos o escenarios distintos (nublado o despejado). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = 0,0344}$$ (La probabilidad de que el autobús llegue con retraso es del **3,44%**).

**b.- (4 puntos) De los sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio se sabe que: $P(A) = 3/8$, $P(B) = 5/8$ y $P(A \cup B) = 3/4$. Calcule $P(A \cap B)$, $P(A/B)$ y $P(A \cap \bar{B})$. Justifique si A y B son dos sucesos independientes.** Primero, calculamos $P(A \cap B)$ utilizando la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$$ $$\frac{3}{4} = \frac{8}{8} - P(A \cap B)$$ $$\frac{3}{4} = 1 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ Ahora, calculamos la probabilidad condicionada $P(A/B)$: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la intersección representa que ambos sucesos ocurren a la vez, mientras que la condicionada $P(A/B)$ es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$. $$\boxed{P(A \cap B) = \frac{1}{4}, \quad P(A/B) = \frac{2}{5}}$$

Para calcular $P(A \cap \bar{B})$, que representa la probabilidad de que ocurra $A$ y NO ocurra $B$, usamos la propiedad: $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos: $$P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8}$$ Por último, justificamos si son **independientes**. Dos sucesos son independientes si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64}$$ Comparamos con el valor obtenido anteriormente: $$P(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{16}{64}$$ Como $\frac{16}{64} \neq \frac{15}{64}$, se concluye que **A y B no son independientes**. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobar la independencia es ver si $P(A/B) = P(A)$. En este caso $0,4 \neq 0,375$ ($3/8$), confirmando que son dependientes. ✅ **Resultados finales del apartado b:** $$\boxed{P(A \cap B) = \frac{1}{4}, \quad P(A/B) = \frac{2}{5}, \quad P(A \cap \bar{B}) = \frac{1}{8}, \quad \text{No son independientes}}$$