Inferencia estadística: Tamaño muestral e Intervalo de confianza

**a.- (5 puntos) Si deseamos obtener un intervalo de confianza al 96% para la media de dicha variable ¿cuántas familias tenemos que encuestar para que la amplitud del intervalo no sea superior de 2.000 euros?** Primero, identificamos los datos del problema: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 3000$ euros. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,96$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,96$, entonces $\alpha = 0,04$. 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,02$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,02 = 0,98$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0,98$, el valor de $z$ está entre $2,05$ y $2,06$. Tomamos el valor medio (o el más cercano según la tabla habitual): $$z_{\alpha/2} = 2,055$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.

La amplitud de un intervalo de confianza es el doble del margen de error ($A = 2E$). El enunciado pide que la amplitud no supere los $2000$ euros: $$A \le 2000 \implies 2E \le 2000 \implies E \le 1000$$ La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos y despejamos $n$: $$1000 \ge 2,055 \cdot \frac{3000}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} \ge \frac{2,055 \cdot 3000}{1000} = 2,055 \cdot 3 = 6,165$$ $$n \ge (6,165)^2 = 38,007225$$ Como el número de familias debe ser un número entero y debe garantizar que el error sea menor o igual al pedido, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 39 \text{ familias}}$$

**b.- (4 puntos) En una muestra de 60 hogares se obtuvo un consumo medio anual en alimentación y bebidas de 17.000 euros, halle el intervalo de confianza al 96% para la media de dicha variable.** Datos de la muestra: - Tamaño muestral: $n = 60$. - Media muestral: $\bar{x} = 17000$ euros. - Desviación típica: $\sigma = 3000$ euros. - Valor crítico (del apartado anterior): $z_{\alpha/2} = 2,055$. Calculamos el error para esta muestra específica: $$E = 2,055 \cdot \frac{3000}{\sqrt{60}} = 2,055 \cdot \frac{3000}{7,746} = 2,055 \cdot 387,30 = 795,90$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (17000 - 795,90 \, , \, 17000 + 795,90)$$ $$IC = (16204,10 \, , \, 17795,90)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza nos da un rango de valores entre los cuales se encuentra la verdadera media poblacional con una probabilidad del $96\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (16204,10 \, , \, 17795,90)}$$

**c.- (1 punto) Si desde una asociación de consumidores se afirma «el consumo anual medio en alimentación y bebidas en hogares es de 20.000 euros al año». Razone, a la vista del apartado b.- si hay motivos para dudar de su afirmación.** Para valorar la afirmación, comprobamos si el valor propuesto ($\mu_0 = 20000$) pertenece al intervalo de confianza calculado en el apartado anterior. El intervalo obtenido fue: $$IC = (16204,10 \, , \, 17795,90)$$ Observamos que el valor $20000$ **no pertenece** al intervalo ($20000 \notin IC$), ya que el límite superior del intervalo es $17795,90$, que es considerablemente menor que $20000$. Por lo tanto, al nivel de confianza del $96\%$, los datos de la muestra contradicen la afirmación de la asociación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, hay motivos para dudar, ya que 20.000 no está en el intervalo de confianza.}}$$