Sistema de ecuaciones: Distribución de personal

**A. [1,25 PUNTOS] Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos operarios, cuántos supervisores y cuántos gerentes componen la empresa.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos hallar: - $x$: número de operarios. - $y$: número de supervisores. - $z$: número de gerentes. A partir del enunciado, extraemos las dos primeras relaciones: 1. La empresa tiene 244 trabajadores en total: $$x + y + z = 244$$ 2. El número de operarios es ocho veces el de gerentes: $$x = 8z \implies x - 8z = 0$$ 💡 **Tip:** Al definir variables, asegúrate de que representen cantidades enteras, ya que hablamos de personas.

Para la tercera ecuación, analizamos el día de las ausencias: - Faltó la mitad de los supervisores: se quedaron $y - 0,5y = 0,5y$. - Faltó el $60 \%$ de los gerentes: se quedaron el $40 \%$, es decir, $z - 0,6z = 0,4z$. El enunciado indica que el número de operarios ($x$) fue cuatro veces la suma de los que se quedaron: $$x = 4 \cdot (0,5y + 0,4z)$$ Operamos para simplificarla: $$x = 2y + 1,6z \implies x - 2y - 1,6z = 0$$ 💡 **Tip:** El $60 \%$ de una cantidad $z$ es $0,6z$. Si faltan esos, quedan $1z - 0,6z = 0,4z$.

Agrupamos las tres ecuaciones obtenidas para formar el sistema lineal: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 244 \\ x - 8z = 0 \\ x - 2y - 1,6z = 0 \end{cases}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Resuélvalo.** Dado que en la segunda ecuación tenemos $x$ despejado en función de $z$ ($x = 8z$), utilizaremos el método de sustitución en las otras dos ecuaciones. Sustituimos $x = 8z$ en la primera y tercera ecuación: 1. $(8z) + y + z = 244 \implies y + 9z = 244$ 2. $(8z) - 2y - 1,6z = 0 \implies -2y + 6,4z = 0$ De la ecuación resultante $-2y + 6,4z = 0$, podemos despejar $y$: $$2y = 6,4z \implies y = \frac{6,4z}{2} \implies y = 3,2z$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando una de las ecuaciones ya relaciona directamente dos incógnitas.

Ahora sustituimos $y = 3,2z$ en la ecuación $y + 9z = 244$: $$3,2z + 9z = 244$$ $$12,2z = 244$$ Calculamos el valor de $z$: $$z = \frac{244}{12,2} = 20$$ Por tanto, hay **20 gerentes**.

Una vez hallado $z$, calculamos el resto de variables utilizando las relaciones anteriores: - Para los operarios ($x$): $$x = 8z = 8 \cdot 20 = 160$$ - Para los supervisores ($y$): $$y = 3,2z = 3,2 \cdot 20 = 64$$ Comprobamos que la suma es correcta: $160 + 64 + 20 = 244$. El resultado es coherente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Operarios } (x): 160 \\ \text{Supervisores } (y): 64 \\ \text{Gerentes } (z): 20 \end{cases}}$$