Álgebra 2023 Cantabria
Optimización de flota de vehículos mediante Programación Lineal
Ejercicio 2 [2,5 PUNTOS]
Una empresa de alquiler de vehículos necesita ampliar su flota con el objetivo de maximizar beneficios, para lo cual adquiere nuevos utilitarios y deportivos. Como máximo, tiene planeado adquirir un total de 120 vehículos. Tiene claro que no comprará más de 90 utilitarios ni menos de 10 deportivos. Además, quiere que el número de utilitarios sea, al menos, el doble del de deportivos. Teniendo en cuenta que al final de su vida útil espera haber obtenido un beneficio de 25000 € por cada utilitario y de 40000 € por cada deportivo:
A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.
B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices.
C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántos utilitarios y cuántos deportivos debe adquirir la empresa para maximizar el beneficio?
D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.**
En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de vehículos **utilitarios**.
- $y$: número de vehículos **deportivos**.
El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, se ganan $25000\text{ €}$ por cada utilitario y $40000\text{ €}$ por cada deportivo. Por tanto, la **función objetivo** es:
$$B(x, y) = 25000x + 40000y$$
💡 **Tip:** Recuerda que la función objetivo siempre representa aquello que queremos maximizar (beneficios, ingresos) o minimizar (costes).
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas:
1. **Total de vehículos:** No puede superar los 120.
$$x + y \le 120$$
2. **Máximo de utilitarios:** No comprará más de 90.
$$x \le 90$$
3. **Mínimo de deportivos:** No comprará menos de 10.
$$y \ge 10$$
4. **Relación entre vehículos:** El número de utilitarios ($x$) debe ser, al menos, el doble de deportivos ($2y$).
$$x \ge 2y$$
5. **Condición de no negatividad:** Como no se pueden comprar vehículos negativos, aunque las restricciones anteriores ya lo sugieren, es formalmente correcto añadir:
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
✅ **Resultado del apartado A:**
$$\boxed{\begin{cases} x + y \le 120 \\ x \le 90 \\ y \ge 10 \\ x \ge 2y \\ x, y \ge 0 \end{cases} \quad \text{y } B(x, y) = 25000x + 40000y}$$
Paso 3
Cálculo de los vértices de la región factible
**B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices.**
Para dibujar la región, representamos las rectas asociadas a las restricciones y buscamos sus puntos de corte (vértices):
- **Punto A** (Corte de $y=10$ y $x=2y$):
$y=10 \implies x = 2(10) = 20$. El vértice es $A(20, 10)$.
- **Punto B** (Corte de $y=10$ y $x=90$):
Directamente obtenemos $B(90, 10)$.
- **Punto C** (Corte de $x=90$ y $x+y=120$):
$90 + y = 120 \implies y = 30$. El vértice es $C(90, 30)$.
- **Punto D** (Corte de $x+y=120$ y $x=2y$):
Sustituyendo $x$: $2y + y = 120 \implies 3y = 120 \implies y = 40$.
Calculamos $x$: $x = 2(40) = 80$. El vértice es $D(80, 40)$.
✅ **Resultado del apartado B:**
Los vértices son **$A(20, 10), B(90, 10), C(90, 30)$ y $D(80, 40)$**.
Paso 4
Maximización del beneficio
**C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántos utilitarios y cuántos deportivos debe adquirir la empresa para maximizar el beneficio?**
Para encontrar el máximo, evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 25000x + 40000y$ en cada uno de los vértices calculados:
- **Vértice A(20, 10):**
$B(20, 10) = 25000(20) + 40000(10) = 500000 + 400000 = 900000\text{ €}$
- **Vértice B(90, 10):**
$B(90, 10) = 25000(90) + 40000(10) = 2250000 + 400000 = 2650000\text{ €}$
- **Vértice C(90, 30):**
$B(90, 30) = 25000(90) + 40000(30) = 2250000 + 1200000 = 3450000\text{ €}$
- **Vértice D(80, 40):**
$B(80, 40) = 25000(80) + 40000(40) = 2000000 + 1600000 = 3600000\text{ €}$
Comparando los resultados, el beneficio máximo ocurre en el punto $D(80, 40)$.
✅ **Resultado del apartado C:**
$$\boxed{\text{Debe adquirir 80 utilitarios y 40 deportivos}}$$
Paso 5
Cálculo del beneficio máximo
**D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?**
Como hemos calculado en el paso anterior al evaluar el vértice $D(80, 40)$:
$B(80, 40) = 25000 \cdot 80 + 40000 \cdot 40$
$B(80, 40) = 2000000 + 1600000 = 3600000\text{ €}$
✅ **Resultado del apartado D:**
$$\boxed{3600000\text{ €}}$$