Estudio de funciones cuadráticas y cálculo de áreas

**A. [0,5 PUNTOS] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones.** Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x) = -x^2 + 6x$, calculamos primero su derivada: $$f'(x) = -2x + 6$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2x + 6 = 0 \implies -2x = -6 \implies x = 3$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 3)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ es **creciente**. - En $(3, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ es **decreciente**. 💡 **Tip:** Recuerda que una función crece cuando su derivada es positiva y decrece cuando es negativa.

Para $g(x) = x^2 - 2x$, realizamos el mismo proceso. Derivamos: $$g'(x) = 2x - 2$$ Igualamos a cero: $$2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ Estudiamos el signo de $g'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline g'(x) & - & 0 & + \\ \hline g(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, $g'(x) \lt 0$, por lo que $g(x)$ es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$, $g'(x) \gt 0$, por lo que $g(x)$ es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} f(x): \text{ Creciente en } (-\infty, 3), \text{ Decreciente en } (3, +\infty) \\ g(x): \text{ Decreciente en } (-\infty, 1), \text{ Creciente en } (1, +\infty) \end{matrix}}$$

**B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones?** Basándonos en el estudio de la monotonía del apartado anterior: 1. **Para $f(x) = -x^2 + 6x$**: Como es una parábola cóncava hacia abajo (el coeficiente de $x^2$ es negativo), el punto donde la derivada es cero es un **máximo absoluto**. Calculamos la ordenada sustituyendo en la función original: $y = f(3) = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$. Extremo de $f$: **Máximo absoluto en $(3, 9)$**. 2. **Para $g(x) = x^2 - 2x$**: Es una parábola cóncava hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo), por lo que tiene un **mínimo absoluto**. Calculamos la ordenada: $y = g(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$. Extremo de $g$: **Mínimo absoluto en $(1, -1)$**. 💡 **Tip:** En las funciones cuadráticas (parábolas), el vértice siempre representa un extremo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x): \text{ Máximo absoluto en } (3, 9); \quad g(x): \text{ Mínimo absoluto en } (1, -1)}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre $f$ y $g$.** **Cortes con los ejes para $f(x) = -x^2 + 6x$:** - Eje OY ($x=0$): $f(0) = 0 \implies (0,0)$. - Eje OX ($f(x)=0$): $-x^2 + 6x = 0 \implies x(-x+6) = 0$. Soluciones: $x=0, x=6$. Puntos: **$(0,0)$ y $(6,0)$**. **Cortes con los ejes para $g(x) = x^2 - 2x$:** - Eje OY ($x=0$): $g(0) = 0 \implies (0,0)$. - Eje OX ($g(x)=0$): $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$. Soluciones: $x=0, x=2$. Puntos: **$(0,0)$ y $(2,0)$**.

Para hallar los puntos de corte entre ambas funciones, igualamos $f(x) = g(x)$: $$-x^2 + 6x = x^2 - 2x$$ Pasamos todo a un lado de la igualdad: $$0 = 2x^2 - 8x \implies 2x(x - 4) = 0$$ Las soluciones son: - $x_1 = 0 \implies y_1 = f(0) = 0$. - $x_2 = 4 \implies y_2 = f(4) = -(4)^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$. Los puntos de corte son **$(0,0)$ y $(4,8)$**. ✅ **Resultado (puntos clave):** $$\boxed{\text{Cortes } f: (0,0), (6,0); \quad \text{Cortes } g: (0,0), (2,0); \quad \text{Intersección}: (0,0), (4,8)}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de ambas parábolas y la región encerrada entre ellas.

**D. [1 PUNTO] Calcule el área de la región que queda encerrada entre $f$ y $g$.** El área viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones entre los puntos de corte $x=0$ y $x=4$. En este intervalo, $f(x) \ge g(x)$. $$Area = \int_{0}^{4} [f(x) - g(x)] dx = \int_{0}^{4} [(-x^2 + 6x) - (x^2 - 2x)] dx$$ Simplificamos el integrando: $$Area = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-2x^2 + 8x) dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} = -\frac{2x^3}{3} + 4x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$Area = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_{0}^{4}$$ $$Area = \left( -\frac{2(4)^3}{3} + 4(4)^2 \right) - \left( -\frac{2(0)^3}{3} + 4(0)^2 \right)$$ $$Area = \left( -\frac{128}{3} + 64 \right) - 0$$ $$Area = \frac{-128 + 192}{3} = \frac{64}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si te sale negativo, revisa cuál es la función que está por encima o usa valor absoluto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \frac{64}{3} \approx 21.33 \text{ u}^2}$$