Optimización: Peso de fruta y beneficio en producción

**A. [1,25 PUNTOS] Una frutería ha conseguido determinar que el peso total de la fruta que guarda en el almacén, expresado en kilogramos, viene dado por la función $P(t) = 30t^2 - 240t + 3000$, donde $t \in [0, 6]$ representa las horas transcurridas desde el momento de la apertura. ¿En qué momento hay menos fruta en el almacén? ¿Cuántos kilogramos hay en ese momento?** Para hallar el momento en el que hay menos fruta (mínimo absoluto), debemos estudiar la función $P(t)$ en el intervalo cerrado $[0, 6]$. Primero, calculamos su derivada para encontrar los puntos críticos: $$P'(t) = \frac{d}{dt}(30t^2 - 240t + 3000) = 60t - 240$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función en un intervalo cerrado, debemos comprobar los puntos donde la derivada es cero y los extremos del intervalo.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $t$ candidatos a ser extremos relativos: $$P'(t) = 0 \implies 60t - 240 = 0$$ $$60t = 240 \implies t = \frac{240}{60} = 4$$ Como $t = 4$ pertenece al intervalo $[0, 6]$, es un candidato válido. Estudiamos el signo de la derivada a ambos lados de $t=4$ para confirmar si es un mínimo: $$\begin{array}{c|ccc} t & [0, 4) & 4 & (4, 6] \\ \hline P'(t) & - & 0 & + \end{array}$$ Al ser $P'(t) \lt 0$ antes de $t=4$ y $P'(t) \gt 0$ después, confirmamos que en $t=4$ hay un **mínimo relativo**.

Para determinar el mínimo absoluto en el intervalo $[0, 6]$, comparamos los valores de la función en el punto crítico y en los extremos: 1. En $t = 0$: $P(0) = 30(0)^2 - 240(0) + 3000 = 3000\text{ kg}$ 2. En $t = 4$: $P(4) = 30(4)^2 - 240(4) + 3000 = 30(16) - 960 + 3000 = 480 - 960 + 3000 = 2520\text{ kg}$ 3. En $t = 6$: $P(6) = 30(6)^2 - 240(6) + 3000 = 30(36) - 1440 + 3000 = 1080 - 1440 + 3000 = 2640\text{ kg}$ El valor más bajo se alcanza a las 4 horas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay menos fruta a las 4 horas (} t = 4 \text{) y la cantidad es de 2520 kg.}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] En una sastrería familiar, el coste total que supone producir $x$ pantalones, en €, viene dado por la función $C(x) = 120x + 700$. Por otro lado, el precio de venta de esos $x$ pantalones, en €, viene dado por la función $P(x) = x(200 - x)$. Suponiendo que todos los pantalones que se producen se venden, ¿cuántos pantalones habría que producir para que el beneficio obtenido sea máximo?** El beneficio $B(x)$ se define como los ingresos totales menos los costes totales. Dado que todos los pantalones producidos se venden, el ingreso coincide con la función de precio de venta $P(x)$: $$B(x) = P(x) - C(x)$$ $$B(x) = x(200 - x) - (120x + 700)$$ $$B(x) = 200x - x^2 - 120x - 700$$ $$B(x) = -x^2 + 80x - 700$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el signo menos delante del paréntesis del coste; afecta a todos los términos interiores.

Para maximizar el beneficio, derivamos la función $B(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -2x + 80$$ Igualamos a cero: $$-2x + 80 = 0 \implies 2x = 80 \implies x = 40$$ Comprobamos que se trata de un máximo utilizando la segunda derivada: $$B''(x) = -2$$ Como $B''(40) = -2 \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 40$. 💡 **Tip:** El criterio de la segunda derivada es muy rápido para funciones polinómicas de segundo grado: si $f''(x) \lt 0$ es un máximo, si $f''(x) \gt 0$ es un mínimo.

Para obtener el beneficio máximo, la sastrería debe producir 40 pantalones. El beneficio en ese caso sería $B(40) = -(40)^2 + 80(40) - 700 = -1600 + 3200 - 700 = 900$ €, aunque el problema solo nos pide el número de pantalones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben producir 40 pantalones para maximizar el beneficio.}}$$