Inferencia estadística: Tamaño muestral e intervalo de confianza

**A. [1,25 PUNTOS] Con un nivel de confianza del 95 % se ha determinado que el intervalo de confianza para el tiempo medio de vida útil de los microondas que fabrica una cierta marca de electrodomésticos es (8.2 años, 9.4 años). Sabiendo que el tiempo de vida útil de estos microondas es una variable que sigue una distribución normal de desviación típica 3.2 años, halle el tamaño mínimo que debe presentar una muestra de microondas, escogidos aleatoriamente, que permita obtener el intervalo de confianza indicado.** Primero, extraemos los datos del enunciado para la variable $X$: "tiempo de vida útil de los microondas": - Distribución: $N(\mu, \sigma) = N(\mu, 3.2)$. - Intervalo de confianza dado: $IC = (8.2, 9.4)$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95\%$: $$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Buscando en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$ es muy común y siempre es $1.96$.

El intervalo de confianza tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible. Podemos calcular el error $E$ como la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{9.4 - 8.2}{2} = \frac{1.2}{2} = 0.6$$ Esto significa que el error cometido en la estimación es de **0.6 años**.

Utilizamos la fórmula del error máximo admisible para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.6 = 1.96 \cdot \frac{3.2}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 3.2}{0.6} = \frac{6.272}{0.6} \approx 10.4533$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n = (10.4533)^2 \approx 109.27$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el tamaño **mínimo** para que el error no sea mayor a $0.6$, siempre debemos redondear al entero superior. ✅ **Resultado apartado A:** $$\boxed{n = 110 \text{ microondas}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] En un aeropuerto, el tiempo que tarda un viajero en llegar al avión desde que atraviesa el control de seguridad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 2 minutos. A partir de una muestra de 125 viajeros, escogidos al azar, se determinó que el tiempo medio para llegar al avión tras atravesar el control de seguridad es de 16 minutos. Halle el intervalo de confianza para la media de la distribución con un nivel de confianza del 97.5 %.** Datos de la variable $Y$: "tiempo para llegar al avión": - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 125$. - Media muestral: $\bar{x} = 16$ minutos. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.975$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $0.975$: $$\alpha = 1 - 0.975 = 0.025 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.0125$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0125 = 0.9875$$ Buscamos el valor $0.9875$ en el interior de la tabla de la normal: $$z_{\alpha/2} = 2.24$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el $IC$ de la media usamos la fórmula $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.24 \cdot \frac{2}{\sqrt{125}}$$ Calculamos el valor de la raíz y el cociente: $$\sqrt{125} \approx 11.1803$$ $$E = 2.24 \cdot \frac{2}{11.1803} = 2.24 \cdot 0.1789 \approx 0.4007$$ El intervalo de confianza es $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (16 - 0.4007, 16 + 0.4007) = (15.5993, 16.4007)$$ Podemos redondear a dos decimales para una respuesta más clara. ✅ **Resultado apartado B:** $$\boxed{IC = (15.60, 16.40) \text{ minutos}}$$