Sistema de ecuaciones: Problema de venta de sacos de cemento

**A. [1,25 PUNTOS] Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos sacos de cada tamaño se vendieron ese día.** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de sacos de 25 kg vendidos. - $y$: número de sacos de 50 kg vendidos. - $z$: número de sacos de 100 kg vendidos. La primera condición indica que se vendieron un total de 180 sacos: $$x + y + z = 180$$

Para plantear la ecuación del importe total, necesitamos conocer el precio de cada tipo de saco. Sabemos que el cemento cuesta **4 €/kg**. Calculamos el precio por saco según su peso: - Precio saco 25 kg: $25 \text{ kg} \cdot 4 \text{ €/kg} = 100 \text{ €}$ - Precio saco 50 kg: $50 \text{ kg} \cdot 4 \text{ €/kg} = 200 \text{ €}$ - Precio saco 100 kg: $100 \text{ kg} \cdot 4 \text{ €/kg} = 400 \text{ €}$ El importe total fue de 29200 €, por lo que: $$100x + 200y + 400z = 29200$$ 💡 **Tip:** Podemos simplificar esta ecuación dividiendo todos sus términos por 100 para trabajar con números más manejables: $$x + 2y + 4z = 292$$

La última condición dice que se vendieron el doble de sacos de 25 kg ($x$) que la suma de los de 50 kg ($y$) y 100 kg ($z$): $$x = 2(y + z) \implies x = 2y + 2z \implies x - 2y - 2z = 0$$ Reuniendo las tres ecuaciones, el sistema que permite resolver el problema es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 180 \\ x + 2y + 4z = 292 \\ x - 2y - 2z = 0 \end{cases}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Resuélvalo.** Vamos a resolver el sistema utilizando el método de sustitución, aprovechando la relación de la tercera ecuación. De la tercera ecuación sabemos que $x = 2(y + z)$. Sustituimos esta expresión en la primera ecuación: $$(2y + 2z) + y + z = 180$$ $$3y + 3z = 180$$ Dividiendo entre 3: $$y + z = 60$$ Como sabemos que $y + z = 60$, podemos calcular directamente el valor de **$x$** usando la relación $x = 2(y + z)$: $$x = 2 \cdot 60 = 120$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{x = 120 \text{ sacos de 25 kg}}$$

Ahora sustituimos $x = 120$ en la segunda ecuación simplificada ($x + 2y + 4z = 292$): $$120 + 2y + 4z = 292$$ $$2y + 4z = 172$$ Dividiendo entre 2: $$y + 2z = 86$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$): $$\begin{cases} y + z = 60 \\ y + 2z = 86 \end{cases}$$ Restamos la primera a la segunda para eliminar la $y$: $$(y + 2z) - (y + z) = 86 - 60$$ $$z = 26$$ Finalmente, calculamos $y$ sustituyendo el valor de $z$ en $y + z = 60$: $$y + 26 = 60 \implies y = 60 - 26 = 34$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados finales en las ecuaciones originales para asegurar que no hay errores de cálculo.

Comprobamos que la solución cumple todas las condiciones: 1. Total sacos: $120 + 34 + 26 = 180$ (Correcto) 2. Importe: $120(100) + 34(200) + 26(400) = 12000 + 6800 + 10400 = 29200$ (Correcto) 3. Relación sacos: $120 = 2(34 + 26) = 2(60)$ (Correcto) La solución del problema es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se vendieron 120 sacos de 25 kg, 34 sacos de 50 kg y 26 sacos de 100 kg.}}$$