Álgebra 2023 Cantabria
Optimización de producción en huertas ecológicas
Ejercicio 2 [2,5 PUNTOS]
El ayuntamiento dispone de 48000 € para la puesta en marcha de huertas ecológicas en un viejo terreno municipal abandonado. Se destinará un máximo de 50 hectáreas al cultivo de hortalizas y un mínimo de 10 al de árboles frutales. Se dispone de un tanque de agua con una capacidad de 480 m$^3$ anuales para riego. Se sabe que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas necesita 8 m$^3$ de agua anuales, cantidad que disminuye hasta los 4 m$^3$ anuales en el caso de las hectáreas dedicadas al cultivo de árboles frutales. Se sabe también que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas requiere una inversión por parte del ayuntamiento de 400 €, siendo esta cantidad de 800 € para cada hectárea dedicada al cultivo de árboles frutales. Se sabe además que la producción anual de cada hectárea de hortalizas es de 450 kg y la de cada hectárea de árboles frutales es de 600 kg. El objetivo que persigue el ayuntamiento es maximizar la producción anual total.
A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.
B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices.
C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de hortalizas y cuántas al de árboles frutales para maximizar la producción anual total?
D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicha producción?
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del problema
**A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.**
Primero, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de hectáreas dedicadas al cultivo de hortalizas.
- $y$: número de hectáreas dedicadas al cultivo de árboles frutales.
A continuación, extraemos las restricciones del enunciado:
1. **Presupuesto (Inversión):** $400x + 800y \le 48000$. Podemos simplificar dividiendo entre 400: $x + 2y \le 120$.
2. **Superficie de hortalizas:** $x \le 50$.
3. **Superficie de frutales:** $y \ge 10$.
4. **Agua de riego:** $8x + 4y \le 480$. Podemos simplificar dividiendo entre 4: $2x + y \le 120$.
5. **No negatividad:** $x \ge 0$ (ya que $y \ge 10$ implica $y > 0$).
La **función objetivo** representa la producción total que queremos maximizar:
$$f(x, y) = 450x + 600y$$
💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones facilita mucho el dibujo de la región factible y el cálculo de los vértices.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\begin{cases} x + 2y \le 120 \\ 2x + y \le 120 \\ x \le 50 \\ y \ge 10 \\ x \ge 0 \end{cases} \quad f(x, y) = 450x + 600y}$$
Paso 2
Dibujo de la región factible y cálculo de vértices
**B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices.**
Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano solución. Los vértices de la región se obtienen mediante la intersección de estas rectas:
- **Punto A:** Intersección de $x = 0$ y $y = 10 \implies \mathbf{A(0, 10)}$.
- **Punto B:** Intersección de $x = 0$ y $x + 2y = 120$. Si $x=0 \implies 2y=120 \implies \mathbf{B(0, 60)}$.
- **Punto C:** Intersección de $x + 2y = 120$ y $2x + y = 120$.
Restando la primera a la segunda multiplicada por 2: $4x + 2y = 240 \implies (4x+2y)-(x+2y) = 240-120 \implies 3x = 120 \implies x=40$. Sustituyendo: $40+2y=120 \implies \mathbf{C(40, 40)}$.
- **Punto D:** Intersección de $2x + y = 120$ y $x = 50$. Si $x=50 \implies 100+y=120 \implies \mathbf{D(50, 20)}$.
- **Punto E:** Intersección de $x = 50$ y $y = 10 \implies \mathbf{E(50, 10)}$.
Todos estos puntos cumplen con el resto de las restricciones, por lo que delimitan el polígono de la región factible.
Paso 3
Cálculo de la solución óptima
**C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de hortalizas y cuántas al de árboles frutales para maximizar la producción anual total?**
Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 450x + 600y$ en cada uno de los vértices hallados:
- $f(A) = f(0, 10) = 450(0) + 600(10) = 6000 \text{ kg}$
- $f(B) = f(0, 60) = 450(0) + 600(60) = 36000 \text{ kg}$
- $f(C) = f(40, 40) = 450(40) + 600(40) = 18000 + 24000 = 42000 \text{ kg}$
- $f(D) = f(50, 20) = 450(50) + 600(20) = 22500 + 12000 = 34500 \text{ kg}$
- $f(E) = f(50, 10) = 450(50) + 600(10) = 22500 + 6000 = 28500 \text{ kg}$
El valor máximo se alcanza en el punto $C(40, 40)$.
💡 **Tip:** En programación lineal con regiones acotadas, el máximo y el mínimo siempre se encuentran en uno de los vértices (o en un segmento entre dos vértices).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Se deben dedicar 40 ha de hortalizas y 40 ha de árboles frutales.}}$$
Paso 4
Producción máxima total
**D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicha producción?**
Como hemos calculado en el paso anterior al evaluar el vértice óptimo $C(40, 40)$, la producción máxima es de $42000 \text{ kg}$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{42000 \text{ kg}}$$