Estudio de asíntotas y continuidad con parámetros

**A. [1,25 PUNTOS] ¿Cuáles son las asíntotas (horizontales, verticales y/u oblicuas) de la siguiente función?** $$f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x - 1}$$ Primero determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Estudiamos la existencia de una **asíntota vertical (AV)** en $x = 1$ calculando los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2 - 1}{x - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2 - 1}{x - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Al ser los límites infinitos, confirmamos que hay una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio en funciones racionales. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1}$$

Para buscar las **asíntotas horizontales (AH)**, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x - 1}$$ Como el grado del numerador (2) es mayor que el grado del denominador (1), el límite es infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x - 1} = \pm\infty$$ Por tanto, no existen asíntotas horizontales. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, no habrá AH pero sí habrá una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{\text{No tiene asíntotas horizontales}}$$

Buscamos una **asíntota oblicua (AO)** de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2 - x} = 2$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{2x^2 - 1}{x - 1} - 2x \right)$$ Realizamos la operación fraccionaria: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 1 - 2x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 1 - 2x^2 + 2x}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{x - 1} = 2$$ 💡 **Tip:** También se puede obtener la AO realizando la división polinómica de $2x^2-1$ entre $x-1$. El cociente será la ecuación de la recta. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = 2x + 2}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Dada la siguiente función definida a trozos determine a y b para que f sea continua en el intervalo [0.5, 2.5].** Para que la función sea continua en el intervalo dado, debe serlo en los puntos de salto entre ramas: $x = 1$ y $x = 2$. En $x = 1$ se debe cumplir: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos el límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{\ln(x)}{x - 1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{(\ln x)'}{(x - 1)'} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1/x}{1} = \frac{1}{1} = 1$$ Calculamos el límite por la derecha y el valor de la función: $$\lim_{x \to 1^+} (ax^2 + b) = a(1)^2 + b = a + b$$ Igualamos ambos resultados para obtener la **primera ecuación**: $$\boxed{a + b = 1 \quad (1)}$$

En $x = 2$ se debe cumplir: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$ Calculamos el límite por la izquierda y el valor de la función: $$\lim_{x \to 2^-} (ax^2 + b) = a(2)^2 + b = 4a + b$$ Calculamos el límite por la derecha: $$\lim_{x \to 2^+} (e^x + 1) = e^2 + 1$$ Igualamos para obtener la **segunda ecuación**: $$\boxed{4a + b = e^2 + 1 \quad (2)}$$

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2): $$\begin{cases} a + b = 1 \\ 4a + b = e^2 + 1 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $b$: $$(4a + b) - (a + b) = (e^2 + 1) - 1$$ $$3a = e^2 \implies a = \frac{e^2}{3}$$ Sustituimos $a$ en la primera ecuación para hallar $b$: $$\frac{e^2}{3} + b = 1 \implies b = 1 - \frac{e^2}{3}$$ 💡 **Tip:** Deja los resultados en función de $e$ para mantener la precisión exacta, a menos que se pidan decimales. ✅ **Resultado (Parámetros):** $$\boxed{a = \frac{e^2}{3}, \quad b = 1 - \frac{e^2}{3}}$$