Optimización y Cálculo Integral en Contexto Real

**A. [1,25 PUNTOS] Un hospital ha determinado que el número de pacientes que hay en urgencias a lo largo de un turno de 36 horas viene dado por la función $P(t)$, donde $t \in [0, 36]$ se expresa en horas. Se sabe que $P’(t) = t^2 – 40t + 231$ es la derivada de $P(t)$ y que al finalizar el turno quedan en urgencias 448 pacientes. ¿En qué momento del turno hay menos pacientes en urgencias? ¿Cuántos pacientes hay en ese momento?** Para hallar la función $P(t)$ a partir de su derivada $P'(t)$, debemos calcular la integral indefinida: $$P(t) = \int P'(t) \, dt = \int (t^2 - 40t + 231) \, dt$$ Aplicamos las reglas básicas de integración: $$P(t) = \frac{t^3}{3} - 40\frac{t^2}{2} + 231t + C = \frac{t^3}{3} - 20t^2 + 231t + C$$ Sabemos que al finalizar el turno ($t = 36$ horas), hay 448 pacientes, es decir, $P(36) = 448$: $$\frac{36^3}{3} - 20(36^2) + 231(36) + C = 448$$ $$15552 - 25920 + 8316 + C = 448$$ $$-2052 + C = 448 \implies C = 448 + 2052 = 2500$$ La función que describe el número de pacientes es: $$\boxed{P(t) = \frac{1}{3}t^3 - 20t^2 + 231t + 2500}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al integrar siempre aparece una constante $C$. Usamos el dato del enunciado (condición inicial o de contorno) para hallar su valor específico.

Para encontrar los momentos en los que el número de pacientes puede ser mínimo, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$P'(t) = t^2 - 40t + 231 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 231}}{2 \cdot 1} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 924}}{2}$$ $$t = \frac{40 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{40 \pm 26}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$t_1 = \frac{40 - 26}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ horas}$$ $$t_2 = \frac{40 + 26}{2} = \frac{66}{2} = 33 \text{ horas}$$ Ambos valores pertenecen al dominio del turno $[0, 36]$.

Estudiamos el signo de $P'(t)$ en el intervalo $[0, 36]$ para determinar el comportamiento de la función: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,7) & 7 & (7,33) & 33 & (33,36) \\ \hline P'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ P(t) & \nearrow & \text{Máximo rel.} & \searrow & \text{Mínimo rel.} & \nearrow \end{array}$$ El mínimo relativo ocurre en **$t = 33$**. Para hallar el mínimo absoluto en un intervalo cerrado, comparamos los valores de la función en el mínimo relativo y en los extremos del intervalo ($t=0$ y $t=36$): - $P(0) = \frac{0^3}{3} - 20(0^2) + 231(0) + 2500 = 2500$ pacientes. - $P(33) = \frac{33^3}{3} - 20(33^2) + 231(33) + 2500 = 11979 - 21780 + 7623 + 2500 = 322$ pacientes. - $P(36) = 448$ pacientes (dato del enunciado). Comparando los valores: $322 \lt 448 \lt 2500$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El mínimo se alcanza a las 33 horas con 322 pacientes}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "P(x) = \\frac{1}{3}x^3 - 20x^2 + 231x + 2500 \\{0 \\le x \\le 36\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(33, 322)", "label": "Mínimo (33h, 322 pac)", "showLabel": true, "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -5, "right": 41, "bottom": -100, "top": 3000 } } }

**B. [1,25 PUNTOS] En una panadería el coste de producción de una hogaza es de 2 €, y el precio de venta de x hogazas, en €, viene dado por la función $P(x) = x(122 – x)$. Además, esta panadería tiene unos gastos fijos mensuales de 500 €. Suponiendo que todas las hogazas que se producen se venden, ¿cuántas hogazas debería producir la panadería al mes para maximizar sus ganancias mensuales? ¿A cuánto ascenderían esas ganancias?** Primero definimos la función de Ganancia o Beneficio $G(x)$, que es la diferencia entre los Ingresos $I(x)$ y los Costes Totales $C(x)$. 1. **Ingresos:** El enunciado indica que el precio total de venta de $x$ hogazas es $P(x)$, por lo que $I(x) = x(122 - x) = 122x - x^2$. 2. **Costes:** Hay un coste variable (2 € por hogaza) y un coste fijo (500 €): $C(x) = 2x + 500$. La función de Ganancia es: $$G(x) = I(x) - C(x)$$ $$G(x) = (122x - x^2) - (2x + 500)$$ $$G(x) = -x^2 + 120x - 500$$ 💡 **Tip:** No confundas el precio total de venta con el precio unitario. Aquí el enunciado dice que el precio de venta de *x* hogazas ya es la función $P(x)$, es decir, los ingresos totales.

Para maximizar la ganancia, calculamos la derivada de $G(x)$ e igualamos a cero: $$G'(x) = -2x + 120$$ $$-2x + 120 = 0 \implies 2x = 120 \implies x = 60 \text{ hogazas}$$ Para verificar que es un máximo, usamos el criterio de la segunda derivada: $$G''(x) = -2$$ Como $G''(60) = -2 \lt 0$, confirmamos que en $x = 60$ existe un **máximo**. Calculamos la ganancia máxima sustituyendo en $G(x)$: $$G(60) = -(60)^2 + 120(60) - 500$$ $$G(60) = -3600 + 7200 - 500 = 3100 \text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe producir 60 hogazas para una ganancia máxima de 3100 €}}$$