Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**A. [1,25 PUNTOS] Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el precio medio de una lavadora.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa el precio de las lavadoras: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 235$ € - Tamaño de la muestra: $n = 50$ - Media muestral: $\bar{x} = 405$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ Como la población sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, la media muestral $\bar{x}$ seguirá una distribución normal de parámetros: $$\bar{x} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para construir un intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ usamos la fórmula: $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el margen de error.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$ 2. $\dfrac{\alpha}{2} = 0,025$ 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,9750$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal, encontramos que para una probabilidad de $0,9750$, el valor de $z$ es exacto: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Este es uno de los valores críticos más comunes. Es recomendable memorizar que para el $95\%$, $z_{\alpha/2} = 1,96$.

Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{235}{\sqrt{50}}$$ $$E = 1,96 \cdot \frac{235}{7,071} = 1,96 \cdot 33,234 = 65,1386 \approx 65,14 \text{ €}$$ Ahora construimos el intervalo $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (405 - 65,14; 405 + 65,14)$$ $$IC = (339,86; 470,14)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (339,86; 470,14)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de lavadoras que habría que considerar para que el error cometido al estimar el precio medio por lavadora con un nivel de confianza del 97 % fuese de 50 €?** Para este apartado, cambian las condiciones: - Desviación típica: $\sigma = 235$ € (se mantiene) - Error máximo permitido: $E = 50$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$ - Tamaño de la muestra: $n$ (incógnita) La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Despejando $n$, obtenemos: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $97\%$: 1. $1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03$ 2. $\dfrac{\alpha}{2} = 0,015$ 3. Buscamos en la tabla $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,9850$. Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, localizamos el valor $0,9850$, que corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor no aparece exacto en la tabla, toma el más cercano o haz una interpolación lineal. En este caso, $2,17$ es exacto.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada de $n$: $$n = \left( \frac{2,17 \cdot 235}{50} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{509,95}{50} \right)^2 = (10,199)^2$$ $$n = 104,0196$$ Como $n$ debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de $50$ €, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. $$n = 105$$ ✅ **Resultado (Número mínimo):** $$\boxed{n = 105 \text{ lavadoras}}$$