Probabilidad de extracción de bolas sin reemplazamiento

Para resolver este ejercicio de extracciones sin reemplazamiento, primero definimos los sucesos según el color de la bola extraída en cada paso: - $B_i$: Extraer bola blanca en la extracción $i$ ($i=1, 2$). - $N_i$: Extraer bola negra en la extracción $i$. - $R_i$: Extraer bola roja en la extracción $i$. El número total de bolas en la urna es $5 + 3 + 2 = 10$ bolas. Al ser una extracción **sin reemplazamiento**, el número de bolas disminuye a 9 para la segunda extracción. Representamos el experimento mediante un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** En extracciones sin reemplazamiento, las probabilidades de la segunda rama dependen de lo que haya salido en la primera (el denominador pasa de 10 a 9).

**A. [0,25 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas?** Buscamos la probabilidad de la intersección de que la primera sea roja y la segunda también sea roja, $P(R_1 \cap R_2)$. Usando la regla del producto: $$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1)$$ Sustituimos los valores del árbol: - $P(R_1) = \dfrac{2}{10}$ - $P(R_2|R_1) = \dfrac{1}{9}$ (quedaba 1 roja de un total de 9 bolas) $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de una rama completa se halla multiplicando las probabilidades de cada uno de sus tramos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ambas rojas}) = \frac{1}{45} \approx 0.0222}$$

**B. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color?** Para que sean del mismo color, existen tres casos mutuamente excluyentes: ambas blancas ($B_1 \cap B_2$), ambas negras ($N_1 \cap N_2$) o ambas rojas ($R_1 \cap R_2$). $$P(\text{mismo color}) = P(B_1 \cap B_2) + P(N_1 \cap N_2) + P(R_1 \cap R_2)$$ Calculamos cada una: 1. $P(B_1 \cap B_2) = \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{90}$ 2. $P(N_1 \cap N_2) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90}$ 3. $P(R_1 \cap R_2) = \dfrac{2}{10} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{90}$ Sumamos las probabilidades: $$P(\text{mismo color}) = \frac{20}{90} + \frac{6}{90} + \frac{2}{90} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45}$$ 💡 **Tip:** Cuando un suceso se puede dar de varias formas distintas, se suman las probabilidades de cada una de esas formas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{mismo color}) = \frac{14}{45} \approx 0.3111}$$

**C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las dos bolas extraídas sea negra?** Es más sencillo calcular este suceso mediante su complementario (opuesto). El contrario de "al menos una negra" es "ninguna bola es negra". $$P(\text{al menos una } N) = 1 - P(\text{ninguna } N)$$ Para que ninguna sea negra, en la primera extracción no debe salir negra (hay $5+2=7$ bolas no negras) y en la segunda tampoco (quedarán 6 bolas no negras de 9 totales). $$P(\text{ninguna } N) = P(\overline{N}_1) \cdot P(\overline{N}_2|\overline{N}_1) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90}$$ Calculamos el suceso pedido: $$P(\text{al menos una } N) = 1 - \frac{42}{90} = \frac{90-42}{90} = \frac{48}{90}$$ Simplificamos dividiendo por 6: $$\frac{48}{90} = \frac{8}{15}$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas la expresión "al menos uno", piensa en utilizar el suceso complementario: $P(A) = 1 - P(A^c)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{al menos una negra}) = \frac{8}{15} \approx 0.5333}$$

**D. [0,75 PUNTOS] Si la segunda bola que se extrae es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca?** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(B_1 | R_2)$. Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(B_1 | R_2) = \frac{P(B_1 \cap R_2)}{P(R_2)}$$ 1. Calculamos el numerador (camino Blanca-Roja): $$P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \cdot P(R_2|B_1) = \frac{5}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{10}{90}$$ 2. Calculamos el denominador $P(R_2)$ usando el Teorema de la Probabilidad Total (sumamos todos los caminos que terminan en Roja en la 2ª extracción): $$P(R_2) = P(B_1 \cap R_2) + P(N_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2)$$ $$P(R_2) = \left(\frac{5}{10} \cdot \frac{2}{9}\right) + \left(\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9}\right) + \left(\frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9}\right)$$ $$P(R_2) = \frac{10}{90} + \frac{6}{90} + \frac{2}{90} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$P(B_1 | R_2) = \frac{10/90}{18/90} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$ 💡 **Tip:** Este es un problema típico de probabilidad a posteriori o Teorema de Bayes, donde nos dan el resultado final y nos preguntan por el origen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B_1 | R_2) = \frac{5}{9} \approx 0.5556}$$